Номер / задача 451 страница 120, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Пусть BD — биссектриса угла B треугольника ABC, где D лежит на AC.

Обозначим ∠ ABD = ∠ DBC = β (так как BD — биссектриса).

Треугольники ABD и BDC — равнобедренные. Нужно определить, какие стороны в них равны.

Рассмотрим треугольник ABD.

В нём ∠ ABD = β. Внешний угол ∠ BDC является внешним углом треугольника ABD, значит ∠ BDC = ∠ A + β.

Тогда ∠ BDA = 180° - (∠ A + β) (смежный с ∠ BDC).

В треугольнике ABD: ∠ A + β + ∠ BDA = 180°, откуда ∠ BDA = 180° - ∠ A - β.

Рассмотрим треугольник BDC.

В нём ∠ DBC = β, ∠ BDC = ∠ A + β, ∠ C = 180° - 2β - ∠ A (из суммы углов треугольника ABC: ∠ A + 2β + ∠ C = 180°).

Предположим, что в треугольнике ABD равнобедренность даётся условием BD = AD (углы при основании AB равны: ∠ A = ∠ ABD = β).

Тогда ∠ A = β.

В треугольнике BDC: ∠ DBC = β, ∠ BDC = 180° - ∠ BDA = 180° - (180° - 2β) = 2β, ∠ C = 180° - β - 2β = 180° - 3β.

Треугольник BDC равнобедренный. Рассмотрим вариант BD = BC (углы при основании DC равны: ∠ BDC = ∠ C):

Тогда:

• ∠ A = β = 36°
• ∠ B = 2β = 72°
• ∠ C = 180° - 3β = 72°

Проверка: 36° + 72° + 72° = 180° ✓

Треугольник ABD: углы 36°, 36°, 108° — равнобедренный (BD = AD) ✓

Треугольник BDC: углы 36°, 72°, 72° — равнобедренный (BD = BC) ✓

Ответ: ∠ A = 36°, ∠ B = 72°, ∠ C = 72°.