Номер / задача 450 страница 119, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Предположим, что такой треугольник существует. Пусть в треугольнике ABC биссектриса BD делит пополам биссектрису AE, то есть пересекает её в точке O, причём AO = OE.

Рассмотрим треугольник ABE. Отрезок BO — биссектриса угла B этого треугольника, и она проходит через середину отрезка AE... Но это пока ничего не даёт напрямую. Воспользуемся свойствами углов.

Пусть ∠ A = 2α, ∠ B = 2β, ∠ C = 2γ. Тогда 2α + 2β + 2γ = 180°, то есть α + β + γ = 90°.

Биссектриса из A делит угол A пополам (каждая часть равна α), биссектриса из B делит угол B пополам (каждая часть равна β).

Рассмотрим треугольник AOB, где O — точка пересечения биссектрис. В нём:

Теперь рассмотрим треугольник BOE. Поскольку E лежит на стороне BC (биссектриса AE идёт из A к стороне BC), то ∠ OBE = β (вторая половина угла B).

В треугольнике ABE: ∠ BAE = α, ∠ ABE = 2β, значит ∠ AEB = 180° - α - 2β.

Тогда ∠ OEB = ∠ AEB = 180° - α - 2β (угол при вершине E тот же).

В треугольнике BOE:

По условию AO = OE, то есть O — середина AE. Значит, треугольник AOB и треугольник EOB имеют общую сторону BO, и AO = OE. Рассмотрим эти два треугольника: в них BO — общая сторона, AO = OE.

По теореме синусов в треугольнике AOB:

В треугольнике BOE:

Так как AO = OE, из обоих равенств:

Значит, sin α = sin(α + 2β).

Отсюда либо α = α + 2β (невозможно при β > 0), либо:

Но мы знаем, что α + β + γ = 90°, значит γ = 0°, что невозможно в треугольнике.

Следовательно, треугольника, в котором одна биссектриса делит пополам другую биссектрису, не существует.