Номер / задача 444 страница 119, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Учебник: Вентана-Граф, 2023
Условие: Угол при основании $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ в 2 раза больше угла при вершине, отрезок $AM$ — биссектриса треугольника. Докажите, что $BM = AC$.
Пусть угол при вершине B равен α. Тогда углы при основании AC равны 2α каждый (треугольник равнобедренный, AB = BC).
По теореме о сумме углов треугольника:
Итак, ∠ B = 36°, ∠ A = ∠ C = 72°.
Отрезок AM — биссектриса угла A, значит ∠ BAM = ∠ MAC = 36°.
Рассмотрим треугольник ABM.
В нём ∠ BAM = 36°, ∠ B = 36°. Значит, ∠ AMB = 180° - 36° - 36° = 108°.
Так как ∠ BAM = ∠ B = 36°, треугольник ABM — равнобедренный, и BM = AM.
Рассмотрим треугольник AMC.
В нём ∠ MAC = 36°, ∠ C = 72°. Значит, ∠ AMC = 180° - 36° - 72° = 72°.
Так как ∠ AMC = ∠ C = 72°, треугольник AMC — равнобедренный, и AM = AC.
Заключение.
Из равенств BM = AM и AM = AC получаем BM = AC. 
