Номер / задача 433 страница 118, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Обозначим равнобедренный треугольник ABC, где боковые стороны равны, а углы при основании равны между собой.

В равнобедренном треугольнике два угла при основании равны (обозначим их α), а угол при вершине обозначим β. По теореме о сумме углов треугольника: 2α + β = 180°.

По теореме 16.2 внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.

Случай 1) Внешний угол равен 54°

Внешний угол меньше 90°, значит смежный с ним угол треугольника равен 180° - 54° = 126°. Этот угол тупой, поэтому он не может быть углом при основании (углы при основании равнобедренного треугольника всегда острые). Значит, это угол при вершине: β = 126°.

Тогда 2α = 180° - 126° = 54°, откуда α = 27°.

Проверим: внешний угол при вершине = 54°, он должен равняться сумме двух углов при основании: 27° + 27° = 54° ✓

Других решений нет, так как угол 126° не может быть углом при основании.

Ответ: углы треугольника равны 27°, 27°, 126°. Задача имеет одно решение.

Случай 2) Внешний угол равен 112°

Смежный с ним угол треугольника равен 180° - 112° = 68°.

Вариант а) Угол 68° — это угол при основании, т.е. α = 68°.

Тогда β = 180° - 2 · 68° = 44°.

Проверим: внешний угол при основании = α + β = 68° + 44° = 112° ✓

Вариант б) Угол 68° — это угол при вершине, т.е. β = 68°.

Тогда 2α = 180° - 68° = 112°, откуда α = 56°.

Проверим: внешний угол при вершине = α + α = 56° + 56° = 112° ✓

Оба варианта дают треугольники с острыми углами при основании, поэтому оба допустимы.

Ответ: задача имеет два решения: углы треугольника равны 68°, 68°, 44° или 56°, 56°, 68°.