Номер / задача 420 страница 117, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: На рисунке 283 укажите треугольники, для которых внешним углом является: 1) угол $AMB$; 2) угол $BMD$. Рис. 283: четырёхугольник с вершинами $B$, $D$, $C$, $A$; диагонали пересекаются в точке $M$; вершина $B$ вверху слева, $D$ вверху справа, $A$ внизу слева, $C$ внизу справа, $M$ — точка пересечения диагоналей.

Точка M — пересечение диагоналей BC и AD четырёхугольника ABDC.

1) Угол AMB

Угол AMB является внешним углом треугольника, если он смежен с одним из углов этого треугольника при вершине M.

Угол AMB смежен с углом AMC (они образуют развёрнутый угол на прямой AC... нет — рассмотрим внимательнее).

Диагонали: BD и AC пересекаются в точке M. Значит, точка M лежит на отрезках AC и BD.

При вершине M образуются четыре угла: ∠ AMB, ∠ BMC, ∠ CMD, ∠ DMA.

Угол ∠ AMB смежен с ∠ BMC (так как A, M, C лежат на одной прямой) и смежен с ∠ DMA (так как B, M, D лежат на одной прямой).

∠ AMB смежен с ∠ BMC, который является углом треугольника BMC при вершине M. Значит, ∠ AMB — внешний угол треугольника BMC.
∠ AMB смежен с ∠ DMA, который является углом треугольника DMA при вершине M. Значит, ∠ AMB — внешний угол треугольника DMA.

2) Угол BMD

Аналогично, ∠ BMD смежен с ∠ AMB (на прямой BD: нет...). Точки B, M, D лежат на одной прямой, поэтому ∠ BMD = 180° — это развёрнутый угол, а не внешний угол треугольника.

Подождём — если B, M, D лежат на одной диагонали, то ∠ BMD = 180°. Это не может быть внешним углом.

Значит, нужно пересмотреть конфигурацию. По рисунку 283: B вверху слева, D вверху справа, A внизу слева, C внизу справа. Диагонали — это BC (из верхнего левого в нижний правый) и AD (из нижнего левого в верхний правый). Тогда на одной прямой лежат B, M, C и A, M, D.

Тогда:

1) Угол AMB

∠ AMB смежен с ∠ AMC (нет — B, M, C на одной прямой, не A, M, C). Перепроверяю: на одной прямой A, M, D и B, M, C.

∠ AMB смежен с ∠ DMB (так как A, M, D — прямая), значит ∠ AMB — внешний угол треугольника DMB (нет, D, M, B — но ∠ DMB — угол этого треугольника... D, M, B не образуют треугольник, M лежит на BC).

Треугольники, образованные пересечением: △ ABM, △ BMD, △ DMC, △ AMC.

∠ AMB смежен с ∠ BMD (прямая AD) → внешний угол треугольника BMD.
∠ AMB смежен с ∠ AMC (прямая BC) → внешний угол треугольника AMC.

2) Угол BMD

∠ BMD смежен с ∠ AMB (прямая AD) → внешний угол треугольника AMB.
∠ BMD смежен с ∠ DMC (прямая BC) → внешний угол треугольника DMC.

Ответ:

∠ AMB является внешним углом треугольников BMD и AMC.
∠ BMD является внешним углом треугольников AMB и DMC.

Номер 420