Номер / задача 392 страница 113, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Доказательство

Пусть биссектрисы углов BAC и BCA треугольника ABC пересекаются в точке O. Через точку O проведена прямая, параллельная AB, пересекающая AC в точке M, и прямая, параллельная BC, пересекающая AC в точке K (рис.).

Докажем, что , т. е. MO + OK + MK = AC.

1) Докажем, что MO = AM.

Так как MO ∥ AB, то по теореме 15.1 (о накрест лежащих углах при параллельных прямых):

(накрест лежащие углы при параллельных прямых MO и AB и секущей AO).

Но AO — биссектриса угла BAC, поэтому ∠ OAB = ∠ OAC = ∠ OAM.

Значит, ∠ MOA = ∠ OAM, и треугольник AOM — равнобедренный, откуда:

2) Докажем, что OK = KC.

Так как OK ∥ BC, то по теореме 15.1:

(накрест лежащие углы при параллельных прямых OK и BC и секущей OC).

Но CO — биссектриса угла BCA, поэтому ∠ OCB = ∠ OCA = ∠ OCK.

Значит, ∠ KOC = ∠ OCK, и треугольник OKC — равнобедренный, откуда:

3) Теперь вычислим периметр треугольника MOK:

Периметр треугольника MOK равен длине стороны AC.