Номер / задача 391 страница 113, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Учебник: Вентана-Граф, 2023
Условие: Через точку $O$ пересечения биссектрис $AE$ и $CF$ треугольника $ABC$ провели прямую, параллельную прямой $AC$. Эта прямая пересекает сторону $AB$ в точке $M$, а сторону $BC$ в точке $K$. Докажите, что $MK = AM + CK$.
Доказательство
Рассмотрим треугольник ABC, в котором AE и CF — биссектрисы, O — точка их пересечения, прямая MK ∥ AC, где M ∈ AB, K ∈ BC.
Так как AE — биссектриса угла A, то ∠ MAO = ∠ OAC (рис.).
Прямые MK и AC параллельны, прямая AE — секущая. По теореме 15.1 накрест лежащие углы равны:
Следовательно, ∠ MAO = ∠ MOA.
В треугольнике AMO два угла равны, значит, треугольник AMO — равнобедренный, и MO = AM.
Аналогично, так как CF — биссектриса угла C, то ∠ KCO = ∠ OCA.
Прямые MK и AC параллельны, прямая CF — секущая. По теореме 15.1 накрест лежащие углы равны:
Следовательно, ∠ KCO = ∠ KOC.
В треугольнике CKO два угла равны, значит, треугольник CKO — равнобедренный, и KO = CK.
Так как MK = MO + OK, получаем:
Что и требовалось доказать. 
