Номер / задача 387 страница 112, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: Треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. Через произвольную точку $M$ его биссектрисы $BD$ проведены прямые, параллельные его сторонам $AB$ и $BC$ и пересекающие отрезок $AC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что $DE = DF$.

Доказательство

Треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC, BD — биссектриса, точка M лежит на BD. Через точку M проведены прямые: ME ∥ AB и MF ∥ BC, где E и F — точки на отрезке AC.

Докажем, что DE = DF.

Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то AB = BC и ∠ BAC = ∠ BCA. Биссектриса BD в равнобедренном треугольнике, проведённая к основанию, является также медианой, поэтому D — середина AC.

1) Рассмотрим прямую ME ∥ AB и секущую AC.

Прямые ME и AB параллельны, прямая AC — секущая. По теореме 15.1 накрест лежащие углы равны, а по теореме 15.2 соответственные углы равны. Значит:

2) Рассмотрим прямую MF ∥ BC и секущую AC.

Аналогично, MF ∥ BC, прямая AC — секущая. По теореме 15.2:

3) Так как ∠ BAC = ∠ BCA, получаем:

4) Рассмотрим прямую ME ∥ AB и секущую BD.

ME ∥ AB, прямая BD — секущая. По теореме 15.1 накрест лежащие углы при параллельных прямых ME и AB и секущей BD равны:

5) Рассмотрим прямую MF ∥ BC и секущую BD.

Аналогично, MF ∥ BC, прямая BD — секущая. По теореме 15.1:

6) Так как BD — биссектриса угла B, то ∠ ABD = ∠ CBD. Следовательно:

7) Рассмотрим треугольники EMD и FMD. В них:

MD — общая сторона,
∠ MED = ∠ MFD (из пункта 3),
∠ EMD = ∠ FMD (из пункта 6).

Тогда и третьи углы равны: ∠ MDE = ∠ MDF.

Итак, в треугольниках EMD и FMD: сторона MD общая, и прилежащие к ней углы соответственно равны (∠ EMD = ∠ FMD, ∠ MDE = ∠ MDF). По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам) △ EMD = △ FMD.

Из равенства треугольников следует:

Что и требовалось доказать.

Номер 387