Номер / задача 386 страница 112, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: На рисунке 271 $AB = AC$, $AF = FE$, $AB \parallel EF$. Докажите, что $AE \perp BC$. Рис. 271: треугольник $ABC$ с точками $F$ на $AC$ и $E$ на $BC$; проведены отрезки $AE$, $AF$, $BE$; $B$ — вершина, $A$ — левая нижняя, $C$ — правая нижняя вершина; $F$ между $A$ и $C$, $E$ между $B$ и $C$.

Дано: AB = AC, AF = FE, AB ∥ EF.

Доказать: AE ⊥ BC.

Доказательство

Так как AB = AC, треугольник ABC — равнобедренный, поэтому ∠ ABC = ∠ ACB.

Обозначим ∠ ACB = α.

Так как AB ∥ EF и прямая BC — секущая, то по теореме 15.1 углы ∠ ABE и ∠ FEB равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и EF:

Поскольку ∠ ABC = α, а точка E лежит на BC, то ∠ ABE = α.

Значит, ∠ FEB = α.

Так как AF = FE, треугольник AFE — равнобедренный с основанием AE, поэтому:

В треугольнике AFE угол ∠ AFE является внешним углом треугольника... Рассмотрим иначе.

Так как AB ∥ EF и прямая AE — секущая, то по теореме 15.1:

(накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и EF и секущей AE).

Обозначим ∠ BAE = ∠ AEF = φ.

Так как AF = FE, треугольник AFE — равнобедренный, и углы при основании AE равны:

В треугольнике AEC:

Найдём углы. ∠ ACE = α. Угол ∠ AEF = φ и ∠ FEC — это угол, смежный с ∠ AEF по отношению к точке E на прямой BC... Нет, точка E лежит на BC, поэтому:

Но удобнее так: ∠ FEA = φ, а ∠ FEB = α (доказано выше). Поскольку F и B находятся по одну сторону от прямой AE или по разные — рассмотрим углы при точке E.

Точка E лежит на BC. Угол ∠ AEB и угол ∠ AEC — смежные, поэтому: