Номер / задача 385 страница 112, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: На рисунке 270 $BC \parallel MK$, $BK = KE$, $CK = KD$. Докажите, что $AD \parallel MK$. Рис. 270: трапеция с вершинами $B$, $C$ (верхнее основание) и $M$, $A$, $D$, $E$ (нижнее основание); точка $K$ внутри фигуры — пересечение диагоналей; отмечены равные отрезки: $BK = KE$ (крест-накрест) и $CK = KD$ (крест-накрест).

Дано: BC ∥ MK, BK = KE, CK = KD.

Доказать: AD ∥ MK.

Доказательство

Рассмотрим треугольники △ BKC и △ EKD.

BK = KE (по условию);
CK = KD (по условию);
∠ BKC = ∠ EKD (как вертикальные углы).

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

Из равенства треугольников следует, что ∠ KBC = ∠ KED.

Углы ∠ KBC и ∠ KED являются накрест лежащими при прямых BC и DE и секущей BE. Так как они равны, по теореме 14.1 прямые BC ∥ DE.

Поскольку BC ∥ MK (по условию) и BC ∥ DE, то по аксиоме параллельности (через точку можно провести только одну прямую, параллельную данной) прямые MK и DE совпадают или параллельны. Так как точки D и E лежат на прямой MK (точки M, E, D расположены на одной прямой с K между ними), то DE — часть прямой MK.

Аналогично рассмотрим треугольники △ BKC и △ EKD: из их равенства ∠ BCK = ∠ EDK.

Углы ∠ BCK и ∠ KDA — рассмотрим прямые BC и AD с секущей CD:

Из равенства треугольников: BC = ED и ∠ KCB = ∠ KDE.

Теперь рассмотрим треугольники △ CKD и △ CKD — вернёмся к основному ходу.

Из △ BKC = △ EKD получаем ∠ CBK = ∠ DEK, то есть BC ∥ ED (накрест лежащие углы при секущей BE равны).

Так как BC ∥ MK по условию, а ED — отрезок на прямой, проходящей через E, K, D, и BC ∥ ED, то точки E, K, D лежат на прямой, параллельной BC, то есть на прямой MK.

Значит, точка D лежит на прямой MK.

Теперь рассмотрим △ BKC и △ MKA (аналогично, но не требуется — нужно доказать AD ∥ MK).

Рассмотрим △ CKB и △ DKE — уже доказали их равенство, откуда BC = ED.

Рассмотрим △ CKD — в ней CK = KD, значит она равнобедренная.

Вернёмся к главному. Из равенства △ BKC = △ EKD:

Так как ∠ KCB = ∠ KDE, то углы ∠ KCB и ∠ KDC — рассмотрим их при секущей CD:

∠ BCD и ∠ CDK — это односторонние углы при прямых BC и DK и секущей CD.

Но проще так: ∠ BCK = ∠ EDK (из равенства треугольников). Эти углы являются накрест лежащими при прямых BC и AD и секущей CD (поскольку D лежит на луче от K, а E, K, D — на одной прямой).

Так как ∠ BCK = ∠ KDE и это накрест лежащие углы при прямых BC и AD с секущей CD, то:

А так как BC ∥ MK (по условию), то

Номер 385