Номер / задача 374 страница 110, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: На продолжениях сторон $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ ($AB = BC$) за точки $A$ и $B$ отметили соответственно точки $P$ и $K$ так, что $PK \| AB$. Докажите, что треугольник $KPC$ равнобедренный.

Доказательство

Рассмотрим треугольник ABC, в котором AB = BC, точка P лежит на продолжении стороны AC за точку A, точка K лежит на продолжении стороны BC за точку B, и PK | AB.

Докажем, что треугольник KPC равнобедренный, т. е. KP = KC.

Так как AB = BC, треугольник ABC равнобедренный с основанием AC. Следовательно, ∠ BAC = ∠ BCA.

Прямые PK и AB параллельны, прямая AC — секущая (точка P лежит на прямой AC). Углы ∠ KPA и ∠ PAB — накрест лежащие при параллельных прямых PK и AB и секущей AP. По теореме 15.1:

Но ∠ PAB = ∠ BAC (это один и тот же угол, поскольку P лежит на продолжении CA за точку A, значит ∠ KPA = ∠ PAB — это накрест лежащие углы, где ∠ PAB — это угол при вершине A в треугольнике ABC, т. е. ∠ BAC).

Итак:

Поскольку ∠ BAC = ∠ BCA, а ∠ BCA = ∠ KCP (это один и тот же угол, так как точки P и K лежат на продолжениях сторон AC и BC, а угол C треугольника KPC совпадает с углом C треугольника ABC), получаем:

В треугольнике KPC два угла равны, следовательно, треугольник KPC — равнобедренный, причём KP = KC.

Что и требовалось доказать.

Номер 374