Номер / задача 356 страница 104, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Пусть ∠ AOC = 3x, ∠ BOC = 5x.

По условию ∠ BOC - ∠ AOC = 42°, то есть 5x - 3x = 42°, откуда 2x = 42°, x = 21°.

Тогда ∠ AOC = 63°, ∠ BOC = 105°, ∠ AOB = 168°.

Угол, смежный с углом AOB, равен 180° - 168° = 12°.

Обозначим биссектрису угла, смежного с ∠ AOB, как луч OD. Биссектриса делит смежный угол пополам, значит она образует угол 6° с лучом OA (по другую сторону от OA относительно OB) и угол 6° с лучом OB (по другую сторону от OB относительно OA).

Точнее: смежный угол к ∠ AOB — это угол, дополняющий ∠ AOB до 180° по одну из сторон. Биссектриса этого смежного угла образует с лучом OA угол 180° - 6° = 174° или, что удобнее, с лучом OB — угол 180° - 6° = 174°.

Найдём угол между лучом OC и биссектрисой OD.

Луч OB является одной из сторон угла AOB. Биссектриса OD смежного угла лежит по другую сторону от прямой OA-OB. От луча OB до биссектрисы OD (через смежный угол) — 6°.

Угол между лучом OC и лучом OB равен ∠ BOC = 105°. Луч OC лежит внутри угла AOB, а луч OD — вне его (в смежном угле), причём OC и OD находятся по одну сторону от прямой, содержащей лучи OA и OB (нет — по разные).

Расположим лучи на плоскости. Пусть луч OA соответствует углу 0°, тогда луч OB — углу 168°. Луч OC внутри угла AOB: ∠ AOC = 63°, значит луч OC — на 63°.

Смежный угол к ∠ AOB — это угол от 168° до 360° (то есть до 0°), он равен 192°... Нет, смежный угол — это угол, образованный продолжением одной из сторон.

Смежный с ∠ AOB угол при стороне OB: образован лучом OB и продолжением луча OA (обозначим OA'). Тогда ∠ A'OB = 180° - 168° = 12°.

Луч OA' — это продолжение OA, он на 180°. Луч OB — на 168°. Смежный угол ∠ A'OB = 180° - 168° = 12°, его биссектриса OD делит его пополам и расположена на 180° - 6° = 174°.

Угол между лучом OC (63°) и лучом OD (174°):

Ответ: 111°.