Номер / задача 355 страница 104, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: Отрезки $AM$ и $CK$ — медианы треугольника $ABC$. На продолжении отрезка $AM$ за точку $M$ отложен отрезок $MF$, а на продолжении отрезка $CK$ за точку $K$ — отрезок $KD$ так, что $MF = AM$, $KD = CK$. Докажите, что точки $B$, $D$ и $F$ лежат на одной прямой.

Доказательство

Рассмотрим треугольник ABC. AM — медиана, значит M — середина BC. CK — медиана, значит K — середина AB.

Шаг 1. Докажем, что B, D и F лежат на одной прямой, показав, что DB ∥ CF и BF ∥ CD, причём все три точки принадлежат одной прямой.

Шаг 2. Рассмотрим отрезок AM и точку F: точка M — середина BC, а MF = AM и F лежит на продолжении AM за точку M. Значит M — середина отрезка AF.

Рассмотрим четырёхугольник ABFC. Диагонали AF и BC пересекаются в точке M, причём M — середина AF (так как AM = MF) и M — середина BC (так как AM — медиана). Следовательно, диагонали ABFC делятся точкой пересечения пополам, значит ABFC — параллелограмм. Отсюда:

Шаг 3. Рассмотрим отрезок CK и точку D: точка K — середина AB, а KD = CK и D лежит на продолжении CK за точку K. Значит K — середина отрезка CD.

Рассмотрим четырёхугольник ADCB. Диагонали CD и AB пересекаются в точке K, причём K — середина CD (так как CK = KD) и K — середина AB (так как CK — медиана). Следовательно, диагонали ADCB делятся точкой пересечения пополам, значит ADCB — параллелограмм. Отсюда:

Шаг 4. Из шага 2: AB ∥ CF и AB = CF. Из шага 3: AD ∥ BC и AD = BC.

Поскольку ADCB — параллелограмм, то DB — его диагональ. Также ABFC — параллелограмм, и BF — его диагональ.

Шаг 5. Рассмотрим треугольники BKD и AKC. Имеем: AK = KB (так как K — середина AB), CK = KD (по построению), углы ∠ AKC = ∠ BKD как вертикальные. Значит, △ AKC = △ BKD по двум сторонам и углу между ними. Отсюда ∠ KAC = ∠ KBD.

Шаг 6. Рассмотрим треугольники BMF и AMC. Имеем: AM = MF (по построению), BM = MC (так как M — середина BC), углы ∠ AMC = ∠ BMF как вертикальные. Значит, △ AMC = △ BMF по двум сторонам и углу между ними. Отсюда ∠ MAC = ∠ MBF.

Шаг 7. Из шагов 5 и 6:

Тогда:

Но ∠ KBM = ∠ ABC, и:

Поскольку в параллелограмме ADCB имеем AD ∥ BC, то ∠ DBA и ∠ ABF — углы при вершине B. Заметим, что ∠ DBF = ∠ BAC + ∠ ABC. В треугольнике ABC: ∠ BAC + ∠ ABC + ∠ BCA = 180°, поэтому ∠ BAC + ∠ ABC = 180° - ∠ BCA.

Угол ∠ DBA = ∠ CAB (из шага 5), а ∠ ABF = ∠ ACB (из шага 6, так как △ AMC = △ BMF даёт ∠ MBF = ∠ ACM). Тогда:

Поскольку ∠ DBF = 180°, точки D, B и F лежат на одной прямой.

Номер 355