Номер / задача 354 страница 104, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Учебник: Вентана-Граф, 2023
Условие: Прямая пересекает биссектрису $BM$ треугольника $ABC$ в точке $O$, являющейся серединой отрезка $BM$, а сторону $BC$ — в точке $K$. Докажите, что если $OK \perp BM$, то $MK \parallel AB$.
Доказательство
Рассмотрим треугольники BOK и MOK.
Имеем: OK ⊥ BM по условию, значит ∠ BOK = ∠ MOK = 90°.
O — середина BM по условию, значит BO = MO.
OK — общая сторона.
Следовательно, треугольники BOK и MOK равны по двум сторонам и углу между ними.
Тогда ∠ OBK = ∠ OMK.
Поскольку BM — биссектриса угла B треугольника ABC, то ∠ ABM = ∠ MBC. Но ∠ OBK = ∠ MBC (это один и тот же угол). Значит, ∠ ABM = ∠ OBK = ∠ OMK.
Таким образом, ∠ ABM = ∠ OMK. Углы ABM и OMK являются накрест лежащими при прямых AB и MK и секущей BM, и эти углы равны. Поэтому в силу теоремы 14.1 MK ∥ AB. 
