Номер / задача 342 страница 103, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: На рисунке 244 $\triangle ABC = \triangle DCE$, $AC = DE$. Докажите, что $AB \parallel CD$. Рис. 244: точки A, B расположены внизу; D, C — посередине; E — вверху; AC = DE отмечены засечками.

Так как △ ABC = △ DCE, то все соответственные стороны и углы этих треугольников равны. В частности:

По условию AC = DE. Тогда:

Из равенства треугольников также следует ∠ BAC = ∠ CDE.

Рассмотрим треугольники ABD и DCA. Но удобнее воспользоваться непосредственно накрест лежащими углами.

Из равенства треугольников △ ABC = △ DCE следует:

Углы ∠ BAC и ∠ CDE — это углы при точках A и D. Прямая AD является секущей прямых AB и CD.

Рассмотрим секущую AD для прямых AB и CD. Угол ∠ BAC (точнее ∠ BAD, часть которого — ∠ BAC) и угол ∠ CDA нужно связать.

Поступим иначе. Из равенства треугольников:

Также AC = DE по условию и BC = CE (из равенства треугольников).

Рассмотрим треугольники ACD и DEC. Нет, воспользуемся напрямую признаком параллельности.

Из △ ABC = △ DCE следует:

Рассмотрим секущую BC для прямых AB и CD. Угол ∠ ABC — угол при точке B между BA и BC. Угол ∠ DCB — угол при точке C между CD и CB.

Углы ∠ ABC и ∠ DCB расположены по разные стороны от секущей BC при прямых AB и CD, то есть это накрест лежащие углы.

Из равенства треугольников △ ABC = △ DCE:

Поскольку E лежит на продолжении CB за точку C (по рисунку точки B, C, E расположены так, что ∠ DCE = ∠ DCB), то:

Углы ∠ ABC и ∠ DCB — накрест лежащие при прямых AB и CD и секущей BD (через B и C). Поскольку эти углы равны, то по теореме 14.1:

Номер 342