Номер / задача 326 страница 97, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Доказательство

Предположим, что прямые a и b не параллельны, то есть они пересекаются в некоторой точке M (рис. 225).

Через точку M проведём прямую c, перпендикулярную прямой a. Прямая c пересекает прямую a (в точке M), значит, по условию, прямая c пересекает и прямую b. Но прямая c уже проходит через точку M, которая принадлежит прямой b, то есть c пересекает b в точке M.

Таким образом, прямые a и b пересекаются в точке M, и прямая c перпендикулярна прямой a в этой точке. Проведём через точку M прямую d, перпендикулярную прямой c. По построению d ⊥ c и a ⊥ c, значит через точку M проходят две прямые, перпендикулярные прямой c: прямая a и прямая d. Но это не приводит к противоречию напрямую, поскольку d и a могут совпадать.

Проведём доказательство иначе.

Предположим, что прямые a и b не параллельны, то есть они пересекаются в некоторой точке M.

Возьмём точку P, не принадлежащую ни прямой a, ни прямой b. Через точку P проведём прямую c, проходящую через точку P и параллельную прямой a. Так как c ∥ a, прямая c не пересекает прямую a.

По условию задачи, любая прямая, пересекающая прямую a, пересекает и прямую b. Равносильно (по контрапозиции): если прямая не пересекает прямую b, то она не пересекает и прямую a.

Покажем, что c не пересекает прямую b. Предположим, что c пересекает прямую b в некоторой точке N. Поскольку c ∥ a, прямая c не проходит через точку M (иначе c пересекала бы a). Значит N ≠ M. Тогда через точку N проходит прямая c, параллельная прямой a, и через точку N проходит прямая b, которая тоже проходит через M и пересекает a. Но c ∥ a и c не пересекает a, а b пересекает a, поэтому c ≠ b.

Итак, N принадлежит прямой b, и N ≠ M. Через точку N проведём прямую, параллельную a: по аксиоме параллельности такая прямая единственна — это прямая c. Но прямая b проходит через N и пересекает a в точке M, значит b не параллельна a, то есть b ≠ c.

Прямая c пересекает прямую b в точке N, но c не пересекает прямую a (так как c ∥ a). Это противоречит условию задачи (любая прямая, пересекающая b... — нет, условие в другую сторону).

Вернёмся к прямому рассуждению. Прямая c не пересекает прямую a, значит по контрапозиции условия: c не пересекает и прямую... Нет, условие: «если прямая пересекает a, то пересекает b». Контрапозиция: «если прямая не пересекает b, то не пересекает a».

Используем само условие напрямую. Прямая b пересекает прямую a в точке M. Тогда по условию прямая b пересекает и прямую b — это тривиально. Возьмём любую прямую через M, отличную от a и b: она пересекает a, значит пересекает b. Но нам нужно другое.

Предположим a и b пересекаются в точке M. Через точку P ∉ a, P ∉ b проведём прямую c ∥ a (по аксиоме параллельности она существует). Прямая c не пересекает a. Но c пересекает b (так как b и c не могут быть параллельны: если бы c ∥ b, то c ∥ a и c ∥ b, а a и b пересекаются — противоречие с теоремой 13.2). Значит c пересекает b, но не пересекает a. Это противоречит условию задачи.

Следовательно, a ∥ b.