Номер / задача 310 страница 88, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: Отметьте на прямой точки $A$, $B$ и $C$. Поставьте вместо многоточия один из знаков «<», «>», «=», чтобы образовалась правильная запись: 1) $AB + BC \ ... \ AC$; 2) $AB + AC \ ... \ BC$; 3) $AC + BC \ ... \ AB$.

Точки A, B, C лежат на одной прямой. Возможны три случая расположения: A-B-C, A-C-B, B-A-C.

Рассмотрим все три случая для каждого пункта.

Случай 1: точка B лежит между A и C, т.е. A-B-C.

Тогда AB + BC = AC.

AB + BC = AC
AB + AC = AB + (AB + BC) = 2AB + BC > BC, значит AB + AC > BC
AC + BC = (AB + BC) + BC = AB + 2BC > AB, значит AC + BC > AB

Случай 2: точка C лежит между A и B, т.е. A-C-B.

Тогда AC + CB = AB.

AB + BC = (AC + BC) + BC = AC + 2BC > AC, значит AB + BC > AC
AB + AC = (AC + BC) + AC = 2AC + BC > BC, значит AB + AC > BC
AC + BC = AB, значит AC + BC = AB

Случай 3: точка A лежит между B и C, т.е. B-A-C.

Тогда BA + AC = BC.

AB + BC = AB + (AB + AC) = 2AB + AC > AC, значит AB + BC > AC
AB + AC = BC, значит AB + AC = BC
AC + BC = AC + (AB + AC) = AB + 2AC > AB, значит AC + BC > AB

Видим, что во всех трёх случаях знак «=» достигается ровно один раз в каждом пункте, а в остальных случаях стоит «>». Поскольку точки лежат на прямой и расположение заранее не фиксировано, но в каждом пункте есть случай равенства, ставим знак, который верен при любом расположении:

AB + BC ≥slant AC, но знак «=» выполняется только когда B между A и C, а «>» — в остальных случаях.

Поскольку задача предлагает выбрать один знак из <, >, =, подразумевается конкретное расположение. Наиболее естественный порядок точек на прямой: A-B-C (в алфавитном порядке, B между A и C). Тогда AB + BC = AC, и:

Номер 310