Номер / задача 309 страница 88, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Теорема. Если медиана треугольника и два угла, на которые она разбивает угол треугольника, соответственно равны медиане и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: △ ABC и ; AM — медиана △ ABC, — медиана ; ; ; .

Доказать: .

Доказательство.

Отложим на продолжении медианы AM за точку M отрезок MD = AM (дополнительное построение). Аналогично, на продолжении медианы за точку отрезок .

Поскольку M — середина BC и AM = MD, рассмотрим △ ABM и △ DCM.

В них:

• BM = CM (так как M — середина BC),
• AM = MD (по построению),
• ∠ AMB = ∠ DMC (вертикальные углы).

По первому признаку равенства треугольников △ ABM = △ DCM.

Отсюда AB = DC и ∠ BAM = ∠ CDM.

Аналогично, из получаем и .

Теперь рассмотрим △ ACD и .

• ,
• ∠ CAD = ∠ CAM + ∠ MAD. Но ∠ MAD = ∠ BAM (так как ∠ BAM = ∠ CDM, а ∠ CDM = ∠ MAD — нет, уточним).

Заметим, что ∠ DAC = ∠ CAM (поскольку из △ ABM = △ DCM следует ∠ DCM = ∠ ABM, а также ∠ MDC = ∠ MAB = ∠ BAM).

Тогда в △ ACD:

• ,
• ,
• .

По второму признаку равенства треугольников (сторона и два прилежащих угла): .

Отсюда и .

Ранее мы установили, что AB = DC и , значит .

Итак, в △ ABC и :

• ,
• ,
• .

По первому признаку равенства треугольников:

Что и требовалось доказать.