Номер / задача 293 страница 84, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Теорема. Если две стороны и медиана, проведённая к третьей стороне, одного треугольника равны соответственно двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне, другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Рассмотрим треугольники ABC и , у которых , , и медианы , где M — середина BC, — середина .

Так как M — середина BC, то . Аналогично .

Рассмотрим треугольники ABM и . В них:

• (по условию),
• (по условию — равенство медиан),
• , так как , .

Осталось обосновать, что . Для этого рассмотрим также треугольники ACM и , в которых:

• (по условию),
• (по условию),
• , так как CM = BM и (точки M, — середины).

Нам нужно найти . Предположим противное: , например .

Воспользуемся другим подходом. Рассмотрим треугольники ABM и :

• ,
• ,
• , .

Рассмотрим также треугольники ACM и :

• ,
• ,
• , .

Отложим на продолжении медианы AM за точку M отрезок MD = AM (и аналогично ).

Поскольку M — середина BC и M — середина AD (по построению), диагонали четырёхугольника ABDC делятся точкой M пополам. Значит, ABDC — параллелограмм, откуда BD = AC и CD = AB.

Аналогично для треугольника : отложим , тогда и .

Теперь рассмотрим треугольники ABD и :

• (по условию),
• ,
• (по условию равенства медиан).

По третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам):

Отсюда .

Аналогично, рассмотрим треугольники CBD и :

• (так как и ... )

Проще: из следует , то есть .

Тогда в треугольниках ABM и :

• ,
• ,
• ...

Но мы ещё не знаем, что . Однако из равенства получаем , то есть (так как M лежит на AD, а — на ).

Теперь в треугольниках ABM и :

• (по условию),
• (по условию),
• (доказано).

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

Отсюда , а значит .

Итак, все три стороны треугольников равны: , , .

По третьему признаку равенства треугольников:

Что и требовалось доказать.