User Name N
ГДЗ 7 класс Геометрия Мерзляк, Полонский, Якир Номер 287

Номер / задача 287 страница 84, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023
Условие: На рисунке 212 $AB = CD$, $BC = AD$, $BM$ — биссектриса угла $ABC$, $DK$ — биссектриса угла $ADC$. Докажите, что $\triangle ABM = \triangle CDK$. Рис. 212: четырёхугольник $ABCD$, где $A$, $D$ на основании, $B$, $C$ — верхние вершины; $M$ и $K$ — точки внутри четырёхугольника, биссектрисы $BM$ и $DK$ выделены зелёным цветом.

Доказательство

Рассмотрим четырёхугольник ABCD, в котором AB = CD, BC = AD.

1. Рассмотрим треугольники ABC и CDA. В них:

  • AB = CD (по условию),
  • BC = AD (по условию),
  • AC — общая сторона.

По третьему признаку равенства треугольников △ ABC = △ CDA.

Из равенства треугольников следует:

2. Так как BM — биссектриса угла ABC, а DK — биссектриса угла ADC, и ∠ ABC = ∠ CDA, то:

3. Из равенства △ ABC = △ CDA также следует:

4. Рассмотрим треугольники ABM и CDK. Точка M лежит на стороне AD, точка K лежит на стороне BC (биссектрисы углов B и D пересекают противолежащие стороны). В треугольнике ABM:

а в треугольнике ABM сумма углов равна 180°, поэтому ∠ AMB = 180° - ∠ ABM - ∠ BAM.

Однако проще воспользоваться непосредственно признаком равенства.

5. В треугольниках ABM и CDK:

  • AB = CD (по условию),
  • ∠ ABM = ∠ CDK (доказано в п. 2),
  • ∠ BAM = ∠ DCA (доказано в п. 3, так как ∠ BAM = ∠ BAD... ).

Уточним. Точка M лежит на AD, поэтому ∠ BAM = ∠ BAD. Точка K лежит на BC, поэтому ∠ DCK = ∠ DCB.

Из равенства △ ABC = △ CDA следует:

Тогда:

Так как ∠ BAC = ∠ DCA и ∠ CAD = ∠ ACB, получаем:

6. Теперь в треугольниках ABM и CDK:

  • AB = CD (по условию),
  • ∠ ABM = ∠ CDK (п. 2),
  • ∠ BAM = ∠ DCK, т. е. ∠ BAD = ∠ DCB (п. 5).

По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам):

Что и требовалось доказать.

Номер 287