Номер / задача 285 страница 83, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Учебник: Вентана-Граф, 2023
Условие: Внутри равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$) отметили точку $D$ так, что $AD = CD$. Докажите, что прямые $BD$ и $AC$ перпендикулярны.
Доказательство
Пусть M — точка пересечения прямой BD с прямой AC.
Рассмотрим треугольники ABD и CBD. В них:
- AB = BC (по условию),
- AD = CD (по условию),
- BD — общая сторона.
Следовательно, △ ABD = △ CBD по трём сторонам (теорема 11.1).
Из равенства треугольников следует, что ∠ ABD = ∠ CBD, то есть луч BD является биссектрисой угла B.
Рассмотрим теперь треугольники ABM и CBM. В них:
- AB = BC (по условию),
- BM — общая сторона,
- ∠ ABM = ∠ CBM (доказано выше).
Следовательно, △ ABM = △ CBM по двум сторонам и углу между ними.
Из равенства треугольников следует, что ∠ BMA = ∠ BMC. Так как эти углы смежные, их сумма равна 180°, а значит, каждый из них равен 90°.
Таким образом, BM ⊥ AC, то есть прямые BD и AC перпендикулярны. 
