Номер / задача 269 страница 80, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: Через середину $D$ стороны $AB$ треугольника $ABC$ проведены прямые, перпендикулярные биссектрисам углов $ABC$ и $BAC$. Эти прямые пересекают стороны $AC$ и $BC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Докажите, что $AM = BK$.

Доказательство

Рассмотрим треугольник ABC, где D — середина стороны AB. Через точку D проведены прямая, перпендикулярная биссектрисе угла BAC, пересекающая сторону AC в точке M, и прямая, перпендикулярная биссектрисе угла ABC, пересекающая сторону BC в точке K.

Надо доказать, что AM = BK.

Шаг 1. Рассмотрим биссектрису угла BAC и прямую DM, перпендикулярную этой биссектрисе.

В треугольнике ADM биссектриса угла A делит угол DAM пополам (поскольку D лежит на стороне AB, а M — на стороне AC, угол DAM = ∠ BAC). Прямая DM перпендикулярна биссектрисе угла A.

Обозначим ∠ BAC = 2α. Тогда биссектриса угла A делит его на два угла по α. Пусть биссектриса угла A пересекает прямую DM в точке P. В треугольнике ADP имеем: ∠ DAP = α и ∠ APD = 90°, следовательно ∠ ADP = 90° - α.

Поскольку ∠ ADM = ∠ ADP = 90° - α, а ∠ DAM = 2α, то в треугольнике ADM:

Таким образом, ∠ ADP = ∠ AMD = 90° - α, и треугольник ADM — равнобедренный. По теореме 10.3 (если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный) получаем:

Шаг 2. Рассмотрим биссектрису угла ABC и прямую DK, перпендикулярную этой биссектрисе.

Обозначим ∠ ABC = 2β. Тогда биссектриса угла B делит его на два угла по β. Пусть биссектриса угла B пересекает прямую DK в точке Q. В треугольнике BDQ имеем: ∠ DBQ = β и ∠ BQD = 90°, следовательно ∠ BDQ = 90° - β.

Поскольку ∠ BDK = 90° - β, а ∠ DBK = 2β, то в треугольнике BDK:

Таким образом, ∠ BDK = ∠ BKD = 90° - β, и треугольник BDK — равнобедренный. По теореме 10.3 получаем:

Шаг 3. Так как D — середина AB, то AD = BD. Следовательно:

Что и требовалось доказать.

Номер 269