Номер / задача 268 страница 80, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $D$ и $E$ так, что $\angle EAC = \angle DCA$. Отрезки $AE$ и $CD$ пересекаются в точке $F$, $DF = EF$. Докажите, что $\triangle ABC$ равнобедренный.

Доказательство

Рассмотрим треугольник ABC, в котором на сторонах AB и BC отмечены точки D и E соответственно, ∠ EAC = ∠ DCA, отрезки AE и CD пересекаются в точке F, причём DF = EF. Надо доказать, что AB = BC.

Рассмотрим треугольники ACF (здесь F — точка пересечения AE и CD).

Обозначим ∠ EAC = ∠ DCA = α.

В треугольнике DFE имеем DF = EF, значит, треугольник DFE равнобедренный, и ∠ FDE = ∠ FED.

Углы DFE и AFC — вертикальные, поэтому ∠ DFE = ∠ AFC.

В треугольнике DFE:

В треугольнике AFC:

Так как ∠ DFE = ∠ AFC, получаем:

По условию ∠ FAC = ∠ EAC = α и ∠ FCA = ∠ DCA = α, поэтому:

Так как ∠ FDE = ∠ FED (треугольник DFE равнобедренный), то:

Теперь рассмотрим треугольник ADF. В нём ∠ DAF = ∠ EAC = α (это угол FAC, т.е. ∠ FAC = α) и ∠ ADF — это угол при вершине D.

Заметим, что ∠ ADF = 180° - ∠ FDE = 180° - α (так как углы ADF и FDE смежные, ведь точки A, D, B лежат на одной прямой AB, а F и E — по одну сторону).

Нет, уточним. Точка D лежит на стороне AB, а F — на отрезке CD. Угол ∠ ADF — это угол треугольника ADF при вершине D. Углы ∠ ADF и ∠ FDE не обязательно смежные.

Перестроим рассуждение. Рассмотрим треугольник ACF. В нём:

Значит, треугольник ACF равнобедренный по теореме 10.3, и AF = CF.

Теперь рассмотрим треугольники ADF и CEF.

∠ ADF и ∠ CEF — углы этих треугольников.
∠ AFD = ∠ CFE (вертикальные углы).
DF = EF (по условию).
AF = CF (доказано выше).

Тогда AF - EF = CF - DF... Нет, AF и EF — не части одного отрезка в нужном смысле. Заметим: F лежит на AE, поэтому AE = AF + FE. Также F лежит на CD, поэтому CD = CF + FD.

Так как AF = CF и DF = EF, то:

Рассмотрим треугольники AEC и DCA:

AE = CD (доказано).
AC — общая сторона.
∠ EAC = ∠ DCA = α (по условию).

По первому признаку равенства треугольников △ AEC = △ CDA.

Тогда EC = DA и ∠ ACE = ∠ CAD как соответственные элементы равных треугольников.

Из ∠ ACE = ∠ CAD следует, что ∠ ACB = ∠ ACE + ∠ EAC... Нет, проще:

Значит, ∠ BAC = ∠ BCA.

Тогда по теореме 10.3 треугольник ABC равнобедренный, и AB = BC.

Номер 268