Номер / задача 267 страница 80, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Учебник: Вентана-Граф, 2023
Условие: Точки $M$ и $K$ принадлежат соответственно боковым сторонам $AB$ и $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$, $AM = CK$. Отрезки $AK$ и $CM$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что $\triangle AOC$ равнобедренный.
Доказательство
Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC — боковые стороны, AC — основание. Точки M и K принадлежат соответственно сторонам AB и BC, причём AM = CK. Отрезки AK и CM пересекаются в точке O. Надо доказать, что треугольник AOC равнобедренный.
Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то ∠ BAC = ∠ BCA.
Рассмотрим треугольники AMC и CKA. В них:
- AM = CK (по условию),
- AC — общая сторона,
- ∠ MAC = ∠ KCA (так как ∠ BAC = ∠ BCA).
Следовательно, треугольники AMC и CKA равны по первому признаку равенства треугольников.
Тогда ∠ MCA = ∠ KAC как соответственные углы равных треугольников.
В треугольнике AOC имеем: ∠ OAC = ∠ KAC и ∠ OCA = ∠ MCA. Поскольку ∠ KAC = ∠ MCA, получаем ∠ OAC = ∠ OCA.
Тогда по теореме 10.3 треугольник AOC равнобедренный. ◄
