Номер / задача 266 страница 80, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: Медианы $AE$ и $CF$, проведённые к боковым сторонам $BC$ и $AB$ равнобедренного треугольника $ABC$, пересекаются в точке $M$. Докажите, что $\triangle AMC$ равнобедренный.

Доказательство

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, у которого AB = BC — боковые стороны, AC — основание. Медиана AE проведена к стороне BC (точка E — середина BC), медиана CF проведена к стороне AB (точка F — середина AB). Точка M — точка пересечения медиан AE и CF. Надо доказать, что треугольник AMC равнобедренный, то есть AM = CM.

Так как треугольник ABC равнобедренный (AB = BC), то ∠ BAC = ∠ BCA (углы при основании равнобедренного треугольника равны).

Рассмотрим треугольники ABE и CBF.

AB = CB (боковые стороны равнобедренного треугольника);
и , а так как AB = BC, то BE = BF;
∠ ABE = ∠ CBF (это общий угол B).

Следовательно, треугольники ABE и CBF равны по первому признаку равенства треугольников.

Тогда AE = CF как соответственные стороны равных треугольников.

Также ∠ BAE = ∠ BCF как соответственные углы равных треугольников.

Рассмотрим треугольники AMF и CME.

∠ MAF = ∠ BAE = ∠ BCF = ∠ MCE;
∠ AFM = ∠ CEM, поскольку ∠ AFM = 180° - ∠ AFB и ∠ CEM = 180° - ∠ CEB, а углы ∠ AFB и ∠ CEB равны как соответственные углы равных треугольников ABE и CBF (точнее, ∠ AEB = ∠ CFB, значит ∠ AFM = 180° - ∠ CFB = 180° - ∠ AEB = ∠ CEM).

Тогда и третьи углы равны: ∠ AMF = ∠ CME (что также очевидно, так как они вертикальные).

Итак, в треугольнике AMC имеем ∠ MAC = ∠ BAE и ∠ MCA = ∠ BCF, а поскольку ∠ BAE = ∠ BCF, то:

Тогда по теореме 10.3 (если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный) получаем, что треугольник AMC равнобедренный, причём AM = CM.

Номер 266