Номер / задача 265 страница 79, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: Верно ли утверждение: 1) если медиана и высота треугольника, проведённые из одной вершины, не совпадают, то этот треугольник не является равнобедренным; 2) если биссектриса треугольника делит противолежащую сторону пополам, то этот треугольник равнобедренный?

1) Неверно.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с AB = BC. Медиана и высота, проведённые из вершины B к основанию AC, совпадают. Однако медиана и высота, проведённые из вершины A, в общем случае не совпадают, хотя треугольник равнобедренный.

Таким образом, медиана и высота, проведённые из одной вершины, могут не совпадать, а треугольник при этом является равнобедренным (если эта вершина — не вершина при основании, а вершина угла при боковой стороне, то есть медиана и высота проведены не из вершины, противолежащей основанию). Утверждение неверно.

2) Верно.

Рассмотрим треугольник ABC, у которого отрезок BM — биссектриса угла B, причём M — середина AC, то есть AM = MC. Значит, BM — одновременно биссектриса и медиана треугольника ABC.

По теореме 10.4 (если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный) получаем, что AB = BC.

Следовательно, треугольник ABC равнобедренный. Утверждение верно.

Номер 265