Номер / задача 259 страница 79, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Учебник: Вентана-Граф, 2023
Условие: На рисунке 198 $\angle AMK = \angle ACB$, $AK = MK$. Докажите, что $\triangle ABC$ равнобедренный.
Рис. 198: треугольник $ABC$ с точкой $M$ на стороне $BC$ и точкой $K$ на стороне $AB$; $A$, $K$, $B$ — на одной прямой (основание), $M$ — между $K$ и $C$; $MK$ перпендикулярно $AK$ (обозначено синим прямым углом); $AK = MK$ (обозначено равными метками).
Доказательство
Рассмотрим треугольник AKM. Так как AK = MK, треугольник AKM равнобедренный. Кроме того, ∠ AKM = 90° (по условию, MK ⊥ AK).
Тогда углы при основании AM равны:
По условию ∠ AMK = ∠ ACB. Найдём ∠ AMK:
Следовательно, ∠ ACB = ∠ AMK = 45°.
Заметим, что ∠ KAM — это угол ∠ BAC (так как K лежит на стороне AB, а M — внутри треугольника). Значит, ∠ BAC = 45°.
Таким образом, в треугольнике ABC имеем ∠ BAC = ∠ ACB = 45°.
Тогда по теореме 10.3 треугольник ABC равнобедренный, причём AB = BC. 
