User Name N
ГДЗ 7 класс Геометрия Мерзляк, Полонский, Якир Номер 252

Номер / задача 252 страница 75, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023
Условие: Основание равнобедренного треугольника равно 20 см, а его медиана разбивает данный треугольник на два треугольника так, что периметр одного из них на 6 см меньше периметра другого. Найдите боковую сторону данного треугольника. Сколько решений имеет задача?

Пусть ABC — равнобедренный треугольник, AB = BC = a — боковые стороны, AC = 20 см — основание.

Проведём медиану BL к основанию AC. По теореме 9.1 в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также биссектрисой и высотой. Значит AL = LC = 10 см.

Медиана BL разбивает треугольник ABC на два треугольника ABL и CBL.

Найдём их периметры:

Периметры равны, значит их разность равна 0, а не 6. Значит, медиана проведена не к основанию, а к боковой стороне.

Проведём медиану AM к боковой стороне BC, где M — середина BC. Тогда .

Медиана AM разбивает треугольник ABC на два треугольника: ABM и ACM.

Найдём их периметры:

Разность периметров:

По условию разность периметров равна 6 (по модулю):

Случай 1: a - 20 = 6, тогда a = 26 см.

Случай 2: a - 20 = -6, тогда a = 14 см.

Проверим неравенство треугольника для ABC (AB = BC = a, AC = 20):

  • При a = 26: 26 + 26 > 20 ✓, 26 + 20 > 26 ✓.
  • При a = 14: 14 + 14 > 20 ✓, 14 + 20 > 14 ✓.

Оба значения допустимы.

Ответ: боковая сторона равна 26 см или 14 см. Задача имеет два решения.

Номер 252