Номер / задача 251 страница 75, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Учебник: Вентана-Граф, 2023
Условие: На сторонах равностороннего треугольника $ABC$ (рис. 189) отметили точки $M$, $K$ и $D$ так, что $AD = BM = CK$. Докажите, что $\Delta MKD$ равносторонний.
Рис. 189: равносторонний треугольник $ABC$, на стороне $AB$ отмечена точка $M$, на стороне $BC$ отмечена точка $K$, на стороне $AC$ отмечена точка $D$; треугольник $MKD$ выделен синим цветом.
Решение. Так как треугольник ABC равносторонний, то AB = BC = CA и ∠ A = ∠ B = ∠ C.
По условию AD = BM = CK.
Точка D лежит на стороне AC, поэтому AC = AD + DC.
Точка M лежит на стороне AB, поэтому AB = AM + BM.
Точка K лежит на стороне BC, поэтому BC = BK + CK.
Так как AB = BC = CA и AD = BM = CK, то:
Следовательно, AM = BK = DC.
Рассмотрим треугольники AMD, BKM и DCK:
- В △ AMD: AM = BK = DC, AD = BM = CK, ∠ A = ∠ B = ∠ C.
- В △ BKM: BK = DC = AM, BM = CK = AD, ∠ B = ∠ C = ∠ A.
- В △ DCK: DC = AM = BK, CK = AD = BM, ∠ C = ∠ A = ∠ B.
Таким образом, в треугольниках AMD, BKM и DCK:
| △ AMD | △ BKM | △ DCK | |
|---|---|---|---|
| Одна сторона | AM | BK | DC |
| Угол между сторонами | ∠ A | ∠ B | ∠ C |
| Другая сторона | AD | BM | CK |
Так как AM = BK = DC, AD = BM = CK и ∠ A = ∠ B = ∠ C, то по первому признаку равенства треугольников:
Из равенства этих треугольников следует, что MD = KM = DK.
Следовательно, треугольник MKD — равносторонний. 
