Номер / задача 250 страница 75, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: На продолжениях сторон $AB$, $BC$, $AC$ равностороннего треугольника $ABC$ (рис. 188) за точки $A$, $B$ и $C$ соответственно отложили равные отрезки $AD$, $BK$ и $CE$. Докажите, что $\Delta DEK$ равносторонний. Рис. 188: равносторонний треугольник $ABC$, на продолжении стороны $AB$ за точку $A$ отложен отрезок $AD$, на продолжении стороны $BC$ за точку $B$ отложен отрезок $BK$, на продолжении стороны $AC$ за точку $C$ отложен отрезок $CE$; треугольник $DEK$ выделен синим цветом.

Решение. Обозначим сторону равностороннего треугольника ABC через a, а длину каждого из равных отрезков AD = BK = CE через d.

Так как треугольник ABC равносторонний, все его углы равны: ∠ A = ∠ B = ∠ C = 60°.

Рассмотрим треугольники DAC, KAB и ECB (вершины внешнего треугольника DEK соединены со сторонами исходного треугольника).

Треугольник DAC:

Точка D лежит на продолжении стороны AB за точку A. Угол DAC — смежный с углом BAC, поэтому ∠ DAC = 180° - 60° = 120°. Стороны этого угла: DA = d, AC = a.

Треугольник ABK:

Точка K лежит на продолжении стороны BC за точку B. Угол ABK — смежный с углом ABC, поэтому ∠ ABK = 180° - 60° = 120°. Стороны этого угла: BK = d, AB = a.

Треугольник BCE:

Точка E лежит на продолжении стороны AC за точку C. Угол BCE — смежный с углом ACB, поэтому ∠ BCE = 180° - 60° = 120°. Стороны этого угла: CE = d, BC = a.

Таким образом, в треугольниках DAC, ABK и BCE:

DA = BK = CE = d,
AC = AB = BC = a,
∠ DAC = ∠ ABK = ∠ BCE = 120°.

Следовательно, △ DAC = △ ABK = △ BCE по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства этих треугольников следует:

Но DC = DE... Уточним: стороны внешнего треугольника — это DE, DK, EK. Определим их через равные треугольники.

В треугольнике DAC сторона, противолежащая углу 120°, — это DC. В треугольнике ABK — это AK. В треугольнике BCE — это BE.

Заметим, что DC — это сторона DE треугольника DEK? Нет. Перестроим рассуждение, правильно определив треугольники, содержащие стороны DE, DK, EK.

Сторона DK принадлежит треугольнику DAK (но удобнее рассмотреть △ ABK, где D не участвует). Рассмотрим иначе.

Стороны треугольника DEK: DK, DE, EK. Каждая из них является стороной, противолежащей углу 120°, в одном из трёх равных треугольников:

DK — сторона треугольника DBK, где DB = DA + AB = d + a, BK = d, ∠ DBK = 120°.
DE — сторона треугольника DAE, где DA = d, AE = AC + CE = a + d, ∠ DAE = 120°.
EK — сторона треугольника ECK... Нет, нужно △ BKE... Перепроверим.

Рассмотрим три треугольника, в которых стороны DEK являются третьими сторонами:

△ ADC: стороны AD = d, AC = a, ∠ DAC = 120°, третья сторона — DC.
△ BKA: стороны BK = d, BA = a, ∠ ABK = 120°, третья сторона — AK.
△ CEB: стороны CE = d, CB = a, ∠ BCE = 120°, третья сторона — BE.

По первому признаку: △ ADC = △ BKA = △ CEB, откуда DC = AK = BE.

Теперь: DK = DB + BK = (DA + AB) + BK... Это не упрощает. Вернёмся: стороны треугольника DEK — это именно DC... Нет, D и C — разные вершины.

Правильно: DE проходит через точку A (так как D на продолжении BA, E на продолжении CA), значит DE = DA + AE = d + (a + d)... Нет, E на продолжении AC за C, а D на продолжении AB за A, и ∠ DAE = ∠ DAC = 120°, поэтому D, A, E не на одной прямой.

Итого, рассмотрим три треугольника со сторонами DE, DK, EK:

△ DAE: DA = d, AE = AC + CE = a + d, ∠ DAE = 120°.
△ BDK: BD = BA + AD = a + d, BK = d, ∠ DBK = 120°.
△ ECK: EC = d, CK = CB + BK = a + d, ∠ ECK = 120°.

Во всех трёх треугольниках: две стороны равны d и a + d, угол между ними равен 120°.

По первому признаку равенства треугольников:

Из равенства этих треугольников:

Следовательно, треугольник DEK — равносторонний.

Номер 250