Номер / задача 245 страница 74, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Дано: равнобедренный треугольник ABC, AB = BC — боковые стороны, AC — основание. BM — медиана, проведённая к стороне AB, AN — медиана, проведённая к стороне BC.

Доказать: BM = AN.

Доказательство.

Так как AN — медиана, проведённая к боковой стороне BC, то N — середина BC, значит .

Так как BM — медиана, проведённая к боковой стороне AB, то M — середина AB, значит .

Поскольку AB = BC, то AM = BN.

Рассмотрим треугольники ABM и BAN...

Удобнее рассмотреть треугольники ABN и BAM (переобозначим для ясности). Рассмотрим треугольники BCM и ACN.

Перестроим рассуждение. Пусть M — середина AC (медиана из B к основанию — нет, медианы проведены к боковым сторонам).

Уточним обозначения. Пусть AB = BC, основание AC.

• M — середина AB, тогда CM — медиана к боковой стороне AB.
• N — середина BC, тогда AN — медиана к боковой стороне BC.

Доказать: CM = AN.

Доказательство.

Рассмотрим треугольники ABN и CBM.

1. AB = CB — боковые стороны равнобедренного треугольника.

2. Так как N — середина BC, то . Так как M — середина AB, то . Поскольку AB = BC, получаем BN = BM.

3. ∠ B — общий угол треугольников ABN и CBM.

Следовательно, △ ABN = △ CBM по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Отсюда AN = CM.

Таким образом, медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны.