Номер / задача 244 страница 74, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Дано: равнобедренный треугольник ABC, AB = BC, BK и AL — биссектрисы углов при основании AC, где K ∈ AC, L ∈ AB (или соответственно на сторонах треугольника).

Доказать: биссектрисы, проведённые из вершин углов при основании, равны.

Доказательство.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, у которого AB = BC (рис.). Пусть AE — биссектриса угла A, а CF — биссектриса угла C, где E ∈ BC, F ∈ AB.

По теореме 9.1 углы при основании равнобедренного треугольника равны:

Так как AE — биссектриса угла A, а CF — биссектриса угла C, то:

Следовательно, ∠ BAE = ∠ BCF.

Рассмотрим треугольники ABE и CBF. В них:

1. AB = CB — боковые стороны равнобедренного треугольника;
2. ∠ BAE = ∠ BCF — как половины равных углов при основании;
3. ∠ B — общий угол.

Следовательно, △ ABE = △ CBF по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует, что AE = CF.

Таким образом, биссектрисы равнобедренного треугольника, проведённые из вершин углов при основании, равны.