Номер / задача 243 страница 74, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ на медиане $BD$ отметили произвольную точку $M$. Докажите, что: 1) $\triangle AMB = \triangle CMB$; 2) $\triangle AMD = \triangle CMD$.

Дано: равнобедренный треугольник ABC, AB = BC, AC — основание, BD — медиана к основанию, точка M лежит на BD.

Доказать: 1) △ AMB = △ CMB; 2) △ AMD = △ CMD.

Доказательство.

Так как BD — медиана равнобедренного треугольника ABC, проведённая к основанию, то по теореме 9.1 она является также биссектрисой и высотой треугольника ABC. Следовательно, AD = DC и BD ⊥ AC.

Поскольку BD ⊥ AC, то ∠ BDA = ∠ BDC = 90°. Так как точка M лежит на отрезке BD, то ∠ MDA = ∠ MDC = 90°.

1) Рассмотрим треугольники AMB и CMB:

AB = BC (боковые стороны равнобедренного треугольника);
∠ ABD = ∠ CBD (так как BD — биссектриса угла B);
BM — общая сторона (так как точка M лежит на BD, сторона BM является общей стороной треугольников AMB и CMB).

Следовательно, △ AMB = △ CMB по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

2) Рассмотрим треугольники AMD и CMD:

AD = DC (так как BD — медиана, D — середина AC);
∠ MDA = ∠ MDC = 90° (так как BD ⊥ AC и точка M лежит на BD);
MD — общая сторона.

Следовательно, △ AMD = △ CMD по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Номер 243