Номер / задача 241 страница 74, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Учебник: Вентана-Граф, 2023
Условие: На основании $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ отмечены точки $M$ и $K$ так, что точка $M$ лежит между точками $A$ и $K$, причём $AM = CK$. Докажите, что $\triangle MBK$ равнобедренный.
Решение. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, у которого AB = BC, и точки M, K на основании AC такие, что AM = CK (рис.).
Так как AC = AM + MK + KC и AM = CK, то MK = AC - AM - CK = AC - 2 · AM. Также заметим, что MC = AC - AM, AK = AC - CK = AC - AM, следовательно, MC = AK.
Рассмотрим треугольники ABK и CBM.
- AB = BC (боковые стороны равнобедренного треугольника);
- AK = MC (доказано выше);
- ∠ A = ∠ C (углы при основании равнобедренного треугольника равны по теореме 9.1).
Следовательно, △ ABK = △ CBM по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
Из равенства треугольников следует, что BK = BM.
Значит, треугольник MBK — равнобедренный. 
