Номер / задача 240 страница 74, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Учебник: Вентана-Граф, 2023
Условие: В треугольнике $MKE$ $MK = ME$. На стороне $KE$ отмечены точки $F$ и $N$ так, что точка $N$ лежит между точками $F$ и $E$, причём $\angle KMF = \angle EMN$. Докажите, что $\angle MFN = \angle MNF$.
Решение. Треугольник MKE — равнобедренный, так как MK = ME (рис.). Сторона KE — основание, точки F и N лежат на KE, причём N между F и E.
По теореме 9.1 углы при основании равнобедренного треугольника равны:
По условию ∠ KMF = ∠ EMN.
Рассмотрим треугольники MKF и MEN.
В них:
- MK = ME (боковые стороны равнобедренного треугольника);
- ∠ MKF = ∠ MEN (углы при основании равнобедренного треугольника, так как ∠ MKF = ∠ MKE и ∠ MEN = ∠ MEK);
- ∠ KMF = ∠ EMN (по условию).
Следовательно, △ MKF = △ MEN по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Из равенства треугольников следует, что MF = MN.
Значит, треугольник MFN — равнобедренный с боковыми сторонами MF и MN. По теореме 9.1 углы при основании FN равны:
Что и требовалось доказать. 
