User Name N
ГДЗ 7 класс Геометрия Мерзляк, Полонский, Якир Номер 216

Номер / задача 216 страница 67, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023
Условие: На одной стороне угла с вершиной в точке $O$ (рис. 173) отмечены точки $A$ и $B$, а на другой — точки $C$ и $D$ так, что $OA = OC$, $AB = CD$. Докажите, что луч $OM$ является биссектрисой угла $BOD$, где $M$ — точка пересечения отрезков $AD$ и $BC$. Рис. 173: вершина угла $O$, на одной стороне угла точки $A$ и $B$ ($A$ ближе к $O$), на другой стороне — точки $C$ и $D$ ($C$ ближе к $O$); $OA = OC$, $AB = CD$; $M$ — точка пересечения отрезков $AD$ и $BC$.

Доказательство

Так как OA = OC и AB = CD, то OA + AB = OC + CD, то есть OB = OD.

Рассмотрим треугольники OAD и OCB.

В этих треугольниках:

  • OA = OC (по условию),
  • OD = OB (доказано выше),
  • ∠ AOD = ∠ COB (общий угол).

Следовательно, △ OAD = △ OCB по двум сторонам и углу между ними (первый признак).

Отсюда ∠ OAD = ∠ OCB как соответственные углы равных треугольников.

Рассмотрим теперь треугольники OBM и ODM, где M — точка пересечения отрезков AD и BC.

В треугольнике ABM: ∠ BAM = ∠ OAD (тот же угол). В треугольнике CDM: ∠ DCM = ∠ OCB (тот же угол). Поскольку ∠ OAD = ∠ OCB, получаем ∠ BAM = ∠ DCM.

Рассмотрим треугольники ABM и CDM.

В этих треугольниках:

  • AB = CD (по условию),
  • ∠ ABM = ∠ CDM (так как ∠ ABM = 180° - ∠ ABO, а ∠ CDM = 180° - ∠ CDO; из равенства △ OAD = △ OCB следует ∠ ODA = ∠ OBC, то есть ∠ CDM = ∠ ABM),
  • ∠ BAM = ∠ DCM (доказано выше).

Следовательно, △ ABM = △ CDM по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак).

Отсюда BM = DM как соответственные стороны равных треугольников.

Теперь рассмотрим треугольники OBM и ODM.

В этих треугольниках:

  • OB = OD (доказано выше),
  • BM = DM (доказано выше),
  • OM — общая сторона.

Следовательно, △ OBM = △ ODM по двум сторонам и углу между ними. (Поскольку из равенства △ OAD = △ OCB имеем ∠ BOM = ∠ DOM... покажем это строже.)

Из равенства △ ABM = △ CDM следует AM = CM. Рассмотрим треугольники OAM и OCM:

  • OA = OC (по условию),
  • AM = CM (доказано),
  • OM — общая сторона.

Наложим △ OAM на △ OCM: все три стороны попарно равны. Значит, ∠ AOM = ∠ COM.

Поскольку точка A лежит на одной стороне угла BOD, а точка C — на другой, и ∠ AOM — это часть угла BOM, а ∠ COM — часть угла DOM, причём лучи OA и OB — это один и тот же луч (сторона угла), и лучи OC и OD — тоже один луч, то:

Таким образом, луч OM является биссектрисой угла BOD.

Номер 216