Номер / задача 215 страница 67, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Доказательство

Так как отрезки AB и CD пересекаются в точке O и делятся ею пополам, то AO = OB и CO = OD.

1) Докажем, что OM = OK.

Рассмотрим треугольники AOM и BOK.

В этих треугольниках:

• AO = OB (так как O — середина AB),
• AM = BK (по условию),
• ∠ OAM = ∠ OBK.

Обоснуем последнее равенство. Рассмотрим треугольники AOC и BOD. В них AO = OB, CO = OD, а углы ∠ AOC = ∠ BOD как вертикальные. Следовательно, △ AOC = △ BOD по двум сторонам и углу между ними. Отсюда ∠ OAC = ∠ OBD, то есть ∠ OAM = ∠ OBK.

Также из равенства треугольников AOC и BOD получаем ∠ AOC = ∠ BOD (вертикальные), а значит и ∠ AOM = ∠ BOK (это те же вертикальные углы, поскольку M лежит на AC, а K — на BD).

Итак, в треугольниках AOM и BOK:

• AO = OB,
• ∠ OAM = ∠ OBK,
• AM = BK.

Следовательно, △ AOM = △ BOK по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда OM = OK как соответственные стороны равных треугольников. ◄

2) Докажем, что точки M, O и K лежат на одной прямой.

Из равенства треугольников AOM и BOK следует, что ∠ AOM = ∠ BOK.

Углы ∠ AOM и ∠ BOK — это углы, которые отрезки OM и OK образуют со сторонами OA и OB соответственно.

Рассмотрим углы при точке O. Обозначим ∠ AOM = ∠ BOK = α. Поскольку M лежит на отрезке AC, отрезок OM лежит внутри угла ∠ AOC. Аналогично, OK лежит внутри угла ∠ BOD.

Тогда:

Значит, ∠ MOB = ∠ KOA.

Сумма углов вокруг точки O:

Подождём — ∠ AOB = 180° невозможно, так как A, O, B не лежат на одной прямой в общем случае. Пересчитаем: углы ∠ AOM и ∠ BOK — вертикальные (так как ∠ AOM = ∠ BOK и они расположены по разные стороны от точки O).

Поскольку ∠ AOM = ∠ BOK = α, рассмотрим луч OM и луч OK. Луч OM образует угол α с лучом OA, а луч OK образует тот же угол α с лучом OB. Так как лучи OA и OB противоположны (точка O — середина AB), то лучи OM и OK тоже противоположны.

Следовательно, точки M, O и K лежат на одной прямой. ◄