Номер / задача 210 страница 67, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Доказательство
Рассмотрим треугольники ABC и 
, у которых 
, 
, и биссектрисы 
, проведённые из вершин A и 
соответственно (где D — точка на стороне BC, 
— точка на стороне 
).
Докажем, что 
.
Так как AD — биссектриса угла A, то 
. Аналогично, так как 
— биссектриса угла 
, то 
. Поскольку 
, получаем:
Рассмотрим треугольники ABD и 
. В них:
(по условию),
(это углы B и 
исходных треугольников — пока не знаем).
Применим другой подход. Рассмотрим треугольники ABD и 
. В них:
(по условию),
(доказано выше),
(по условию).
Следовательно, 
по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
Из равенства этих треугольников получаем:
Также из равенства треугольников ABD и 
следует 
. Тогда:
Поскольку 
и 
, то:
Рассмотрим теперь треугольники ADC и 
. В них:
(по условию),
(доказано выше),
(доказано выше).
Следовательно, 
по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).
Из равенства треугольников ADC и 
получаем 
и 
.
Теперь для исходных треугольников ABC и 
имеем:
(по условию),
,
(из равенства треугольников ABD и 
).
Следовательно, 
по двум сторонам и углу между ними. ◄
