Номер / задача 202 страница 66, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: На рисунке 169 $BM \perp AD$, $CK \perp AD$, $BM = CK$, $AM = KD$. Докажите, что $\triangle ABD = \triangle ADC$. Рис. 169: точки $A$, $M$, $K$, $D$ лежат на одной прямой (снизу слева направо); $B$ — над $M$, $C$ — над $K$; $BM \perp AD$, $CK \perp AD$; отмечены равные отрезки $BM = CK$ (по одной метке) и $AM = KD$ (по две метки); проведены отрезки $AB$, $BD$, $AC$, $CD$, $BC$.

Доказательство

Рассмотрим треугольники ABM и DCK.

В этих треугольниках:

BM = CK (по условию),
AM = KD (по условию),
∠ AMB = ∠ DKC = 90° (так как BM ⊥ AD и CK ⊥ AD).

Следовательно, △ ABM = △ DCK по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда AB = DC как соответственные стороны равных треугольников.

Теперь покажем, что BD = AC.

Так как AM = KD, то AM + MK = KD + MK, то есть AK = MD.

Рассмотрим треугольники BMD и CKA.

В этих треугольниках:

BM = CK (по условию),
MD = AK (доказано выше),
∠ BMD = ∠ CKA = 90°.

Следовательно, △ BMD = △ CKA по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда BD = CA как соответственные стороны равных треугольников.

Теперь рассмотрим треугольники ABD и DCA.

В этих треугольниках:

AB = DC (доказано),
BD = CA (доказано),
AD — общая сторона.

Так как AM = KD и MK — общий отрезок, то AD = AM + MK + KD. Сторона AD общая.

Покажем равенство угла между равными сторонами. Из равенства △ ABM = △ DCK следует ∠ BAM = ∠ CDK, то есть ∠ BAD = ∠ CDA.

Следовательно, △ ABD = △ DCA по двум сторонам и углу между ними (сторона AB = DC, сторона AD — общая, ∠ BAD = ∠ CDA). ◄

Номер 202