Номер / задача 201 страница 66, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: На рисунке 168 $\triangle MKO = \triangle MPO$. Докажите, что $\triangle KOE = \triangle POE$. Рис. 168: точки $M$, $K$, $O$, $P$, $E$; $M$ слева, $E$ справа, $K$ сверху, $P$ снизу, $O$ в центре; отмечены равные отрезки $MK = MP$ (по одной метке) и $KO = PO$ (по одной метке); проведены отрезки $MK$, $MP$, $KO$, $PO$, $KE$, $PE$, $OE$.

Так как △ MKO = △ MPO, то:

Из равенства треугольников следует, что KO = PO и MK = MP.

Рассмотрим треугольники MKE и MPE. В этих треугольниках MK = MP (соответственные стороны равных треугольников), ME — общая сторона. Также из равенства △ MKO = △ MPO следует ∠ KMO = ∠ PMO, то есть ∠ KME = ∠ PME.

Следовательно, △ MKE = △ MPE по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда KE = PE.

Теперь рассмотрим треугольники KOE и POE. В этих треугольниках:

KO = PO (соответственные стороны равных треугольников MKO и MPO),
KE = PE (соответственные стороны равных треугольников MKE и MPE),
OE — общая сторона.

Из равенства △ MKO = △ MPO следует ∠ MOK = ∠ MOP. Так как точки M, O, E определяют углы KOE и POE, и ∠ KOE = ∠ KOM + ∠ MOE или ∠ KOE = ∠ MOE - ∠ KOM (в зависимости от расположения), покажем равенство углов иначе.

Из △ MKE = △ MPE следует ∠ MKE = ∠ MPE. Из △ MKO = △ MPO следует ∠ MKO = ∠ MPO.

Тогда ∠ OKE = ∠ MKE - ∠ MKO = ∠ MPE - ∠ MPO = ∠ OPE.

Таким образом, в треугольниках KOE и POE:

KO = PO,
∠ OKE = ∠ OPE,
KE = PE.

Но воспользуемся более прямым путём. В треугольниках KOE и POE:

KO = PO (доказано),
OE — общая сторона,
KE = PE (доказано).

Нам нужен угол между равными сторонами. Заметим, что ∠ KOE = ∠ POE, так как:

а ∠ KOM = ∠ POM (из равенства △ MKO = △ MPO), причём лучи OK и OP расположены симметрично относительно прямой ME.

Итак, в треугольниках KOE и POE:

KO = PO,
∠ KOE = ∠ POE,
OE — общая сторона.

Следовательно, △ KOE = △ POE по двум сторонам и углу между ними.

Номер 201