Номер / задача 193 страница 65, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: На рисунке 164 $\angle BAO = \angle DCO$, $\angle BAC = \angle DCA$. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle ACD$. Рис. 164: трапециевидная фигура с вершинами $B$ (верхний левый), $D$ (верхний правый), $A$ (нижний левый), $C$ (нижний правый); $O$ — точка пересечения диагоналей $BD$ и $AC$ внутри фигуры; равные метки углов при вершинах $A$ и $C$.

Доказательство

Рассмотрим треугольники ABC и ACD.

По условию ∠ BAC = ∠ DCA. Это означает, что AC — общая сторона этих треугольников, и углы, прилежащие к ней со стороны B и D, равны.

Заметим, что по условию ∠ BAO = ∠ DCO, то есть ∠ BAC = ∠ DCA (это те же углы, поскольку точка O лежит на AC, а значит ∠ BAO = ∠ BAC и ∠ DCO = ∠ DCA).

Теперь найдём вторую пару равных углов. Так как ∠ BAC = ∠ DCA (по условию), то:

Но ∠ BAO = ∠ DCO по условию, а ∠ BAC = ∠ DCA по условию.

Рассмотрим углы при вершинах A и C в треугольниках ABC и ACD:

∠ BAC — угол треугольника ABC при вершине A,
∠ DCA — угол треугольника ACD при вершине C.

По условию ∠ BAC = ∠ DCA.

Теперь рассмотрим углы ∠ BCA и ∠ DAC. Поскольку ∠ BAO = ∠ DCO, а ∠ BAC = ∠ DCA, то:

Поступим иначе. Из условия ∠ BAC = ∠ DCA следует:

Так как ∠ BAO = ∠ DCO (по условию), то ∠ OAC = ∠ OCA.

Значит, в треугольниках ABC и ACD:

∠ BCA = ∠ OCA + ∠ OCB, а ∠ DAC = ∠ OAC + ∠ OAD.

Применим другой подход. Рассмотрим треугольники ABC и CDA.

Сторона AC — общая (равна CA).

Угол ∠ BAC = ∠ DCA — по условию.

Найдём ещё один прилежащий угол. Из ∠ BAO = ∠ DCO и ∠ BAC = ∠ DCA получаем:

Так как ∠ BAC = ∠ DCA и ∠ BAO = ∠ DCO, то:

Значит, ∠ BCA = ∠ BAC - ∠ BAO + ∠ OCA...

Проще: в треугольнике AOC имеем ∠ OAC = ∠ OCA, значит он равнобедренный, и OA = OC.

Теперь рассмотрим треугольники ABO и CDO. В них: ∠ BAO = ∠ DCO (по условию), ∠ AOB = ∠ COD (вертикальные углы), OA = OC (доказано). Следовательно, △ ABO = △ CDO по стороне и двум прилежащим к ней углам. Отсюда AB = CD.

Теперь рассмотрим треугольники ABC и CDA:

AC = CA (общая сторона),
∠ BAC = ∠ DCA (по условию),
AB = CD (доказано).

Следовательно, △ ABC = △ CDA по двум сторонам и углу между ними.

Номер 193