Номер / задача 190 страница 65, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: На рисунке 161 $\angle 1 = \angle 2$, $\angle 3 = \angle 4$, $AB = 8$ см, $BC = 6$ см. Найдите стороны $AD$ и $CD$ треугольника $ADC$. Рис. 161: четырёхугольник $ABCD$, где $A$ — верхний левый угол, $B$ — верхний правый, $C$ — нижний правый, $D$ — нижний левый; проведена диагональ $AC$; углы $\angle 1$ и $\angle 4$ при вершине $A$, углы $\angle 2$ и $\angle 3$ при вершине $C$.

Рассмотрим треугольники ABC и ADC.

По условию ∠ 1 = ∠ 2 и ∠ 3 = ∠ 4, где ∠ 1 и ∠ 4 — углы при вершине A, а ∠ 2 и ∠ 3 — углы при вершине C. Из рисунка:

∠ 1 = ∠ BAC, ∠ 4 = ∠ DAC
∠ 2 = ∠ BCA, ∠ 3 = ∠ DCA

Значит, ∠ BAC = ∠ BCA = ∠ 1 = ∠ 2 и ∠ DAC = ∠ DCA = ∠ 4 = ∠ 3.

Сторона AC — общая для треугольников ABC и ADC.

Также ∠ BAC = ∠ DCA (так как ∠ 1 = ∠ 2 и ∠ 2 = ∠ 3... нет, проверим внимательнее).

По условию: ∠ 1 = ∠ 2 и ∠ 3 = ∠ 4.

Из рисунка ∠ 1 = ∠ BAC, ∠ 4 = ∠ DAC, ∠ 2 = ∠ BCA, ∠ 3 = ∠ DCA.

Тогда:

∠ BAC = ∠ BCA (так как ∠ 1 = ∠ 2), значит треугольник ABC — равнобедренный, но это не то, что нужно.

Рассмотрим треугольники ABC и CDA. Сторона AC — общая. При этом:

∠ BAC = ∠ 1 = ∠ 2 = ∠ BCA — это углы треугольника ABC,
∠ DCA = ∠ 3 = ∠ 4 = ∠ DAC — это углы треугольника ADC.

Но нам нужно сравнить треугольники ABC и CDA между собой. Заметим:

∠ 1 = ∠ 2, то есть ∠ BAC = ∠ BCA, — прилежащие к AC углы в △ ABC,
∠ 3 = ∠ 4, то есть ∠ DCA = ∠ DAC, — прилежащие к AC углы в △ ADC.

Из условия: ∠ 1 = ∠ 2 и ∠ 3 = ∠ 4. Также из рисунка ∠ 1 = ∠ BAC, ∠ 2 = ∠ BCA, ∠ 3 = ∠ DCA, ∠ 4 = ∠ DAC.

Сравним треугольники ABC и ADC: сторона AC общая, ∠ BAC = ∠ DCA (оба равны ∠ 1 = ∠ 2 = ...).

Подождём: ∠ 1 = ∠ 2 означает ∠ BAC = ∠ BCA, а ∠ 3 = ∠ 4 означает ∠ DCA = ∠ DAC.

Рассмотрим треугольники ABC и CDA (с соответствием A → C, B → D, C → A):

AC = CA (общая сторона),
∠ BAC = ∠ DCA (так как ∠ 1 = ∠ 2 и ∠ 2 = ∠ BCA... Нет, ∠ BAC = ∠ 1, ∠ DCA = ∠ 3. Нам нужно ∠ 1 = ∠ 3, но дано ∠ 1 = ∠ 2 и ∠ 3 = ∠ 4.)

Перечитаем: дано ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 3 = ∠ 4. Если ∠ 1 = ∠ BAC, ∠ 2 = ∠ DCA, ∠ 3 = ∠ BCA, ∠ 4 = ∠ DAC, тогда:

∠ BAC = ∠ DCA и ∠ BCA = ∠ DAC.

Тогда в треугольниках ABC и CDA: сторона AC общая, ∠ BAC = ∠ DCA, ∠ BCA = ∠ DAC — прилежащие к AC углы. По второму признаку равенства треугольников △ ABC = △ CDA.

Следовательно, AD = CB = 6 см и CD = AB = 8 см.

Ответ: AD = 6 см, CD = 8 см.

Номер 190