Номер / задача 18 страница 13, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Да, можно. Рассмотрим конфигурацию из 9 точек и 9 прямых.

Отметим точки, расположенные в узлах сетки 3 × 3:

Зададим их координатами:

Точка	Координаты
	(0, 0)
	(1, 0)
	(2, 0)
	(0, 1)
	(1, 1)
	(2, 1)
	(0, 2)
	(1, 2)
	(2, 2)

Проведём 9 прямых, на каждой из которых лежат ровно 3 отмеченные точки:

1. (нижняя горизонталь)
2. (средняя горизонталь)
3. (верхняя горизонталь)
4. (левая вертикаль)
5. (средняя вертикаль)
6. (правая вертикаль)
7. (главная диагональ)
8. (побочная диагональ)
9. (диагональ через эти три точки)

Проверим, что через каждую точку проходят ровно 3 прямые:

• : прямые 1, 4, 7 — 3 прямые ✓
• : прямые 1, 5, 9 — 3 прямые ✓
• : прямые 1, 6, 8 — 3 прямые ✓
• : прямые 2, 4 — только 2 прямые ✗

Прямая 9 не проходит через . Скорректируем набор прямых. Заменим прямую 9 на прямую через . Проверим: точки (0,1), (1,2), (2,3)… нет, — не на одной прямой с (0,1) и (1,2).

Воспользуемся другой известной конфигурацией — конфигурацией Хессе не подходит, возьмём простейший пример с меньшим числом точек.

Рассмотрим конфигурацию Папуса упрощённо — но проще всего взять проективную плоскость порядка 2 (плоскость Фано): 7 точек и 7 прямых, где на каждой прямой ровно 3 точки и через каждую точку ровно 3 прямые.

Точки: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Прямые (тройки точек):

1. \1, 2, 3\
2. \1, 4, 5\
3. \1, 6, 7\
4. \2, 4, 6\
5. \2, 5, 7\
6. \3, 4, 7\
7. \3, 5, 6\

Проверка — каждая точка входит ровно в 3 тройки:

• Точка 1: прямые 1, 2, 3 ✓
• Точка 2: прямые 1, 4, 5 ✓
• Точка 3: прямые 1, 6, 7 ✓
• Точка 4: прямые 2, 4, 6 ✓
• Точка 5: прямые 2, 5, 7 ✓
• Точка 6: прямые 3, 4, 7 ✓
• Точка 7: прямые 3, 5, 6 ✓

На каждой прямой ровно 3 точки, через каждую точку ровно 3 прямые.

Ответ: да, можно. Достаточно взять 7 точек и 7 прямых (плоскость Фано). На каждой прямой лежат ровно 3 отмеченные точки, и через каждую отмеченную точку проходят ровно 3 проведённые прямые.