Номер / задача 19 страница 13, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Уголок состоит из трёх единичных квадратиков, расположенных в форме буквы «Г». Нам нужно сложить из таких уголков квадрат.

Площадь одного уголка равна 3 клеткам. Площадь квадрата должна делиться на 3. Наименьший подходящий квадрат: сторона 3, площадь 9 = 3 · 3, значит нужно 3 уголка. Но из трёх Г-образных уголков квадрат 3×3 сложить не удаётся (можно проверить перебором).

Следующий вариант: сторона 6, площадь 36 = 3 · 12, нужно 12 уголков. Но проще рассмотреть квадрат со стороной, кратной 3, и при этом площадь делится на 3.

Попробуем квадрат 4×4 нельзя (площадь 16, не делится на 3).

Вернёмся к квадрату 3×3 (площадь 9, три уголка). Покажем, что это невозможно, и перейдём к 6×6 — но это слишком много.

На самом деле, четыре уголка складываются в квадрат со стороной ... Нет, будем рассуждать проще: из 4 уголков можно сложить прямоугольник 3×4 (площадь 12), а квадрат — нет.

Правильный классический ответ: из 4 уголков складывается квадрат — но не из единичных клеток на сетке, а именно квадрат площадью 12 — это не целое число стороны.

Вернёмся к стандартной задаче: из 4 уголков (каждый из трёх клеток в форме буквы «Г») можно сложить квадрат 3 × 3 с пустой клеткой... Нет.

Ответ к этой классической задаче: нужно взять 4 уголка и сложить из них квадрат, повернув каждый уголок на 90°.

Подождём — перечитаю задачу. Фигурка-уголок состоит из трёх квадратов в форме буквы «Г». Нужно сложить квадрат.

Возьмём 4 таких уголка (общая площадь = 12). Квадрат со стороной 12 не получится целым. Но если допустить, что уголок — это L-тримино, то минимальный квадрат, который можно полностью замостить — это 6×6 из 12 уголков, или можно рассмотреть другой подход.

Однако в классических задачах для 7 класса ответ такой:

Из 4 уголков складывается квадрат 3×3, если один уголок перевернуть (зеркально отразить), но задача обычно подразумевает, что центральную клетку закрывает пересечение.

Правильный ответ: нужно взять 4 уголка и сложить их, поворачивая каждый на 90°, в квадрат.

Хм, но я запутался. Давайте перечитаю задачу ещё раз: «Из фигурок, имеющих вид уголка, сложите квадрат». Не сказано «из скольких» — нужно просто показать, как это сделать.

Возьмём 4 уголка и сложим прямоугольник 3×4 (площадь 12) — это не квадрат. Возьмём 12 уголков и сложим квадрат 6×6 (площадь 36) — это работает.

Но для 7 класса скорее всего ожидается простой ответ. Перечитаю описание уголка: «два квадрата в ряд и один квадрат снизу слева» — это L-тримино из 3 клеток.

Минимальный квадрат из L-тримино — 6×6 из 12 штук (поскольку 3×3 невозможно, как показано выше).

Но подождите — может быть, имеется в виду уголок из 4 маленьких квадратиков? «Два квадрата в ряд и один квадрат снизу слева» — это 3 квадрата. Ладно, 3.

Тогда простейший ответ: 4 уголка складываются в прямоугольник 2×6 или 3×4, но не в квадрат.

А может, задача допускает перекрытие? Нет.

Ладно, дам ответ с 12 уголками в квадрат 6×6, но также покажу более элегантное решение: 4 уголка в квадрат, если каждый уголок состоит из 4 клеток (L-тетромино). Площадь = 16 = 4×4.

Скорее всего, описание «два квадрата в ряд и один квадрат снизу слева» можно интерпретировать как L-тетромино (два в ряд сверху + один снизу слева + один... нет, сказано ТРИ квадрата).

Окончательно: из 4 уголков (L-тримино) можно сложить квадрат 2×2, если масштабировать... нет.

Я выберу ответ: 4 уголка → квадрат 3×3 невозможно, но 12 уголков → квадрат 6×6 — возможно. Однако для школьной задачи, вероятно, ожидается ответ попроще.

Перечитаю: может, уголок — это не тримино, а фигура из 5 клеток? «Два квадрата в ряд и один квадрат снизу слева» — нет, это 3 клетки.

Ладно, даю финальный ответ.

Каждый уголок состоит из 3 единичных квадратиков. Площадь квадрата должна делиться на 3. Наименьший такой квадрат — 3 × 3 (площадь 9), но его нельзя замостить L-тримино (при шахматной раскраске 5 чёрных и 4 белых клетки, а каждый уголок покрывает 2 клетки одного цвета и 1 другого — три уголка не дадут разность 1).

Берём квадрат 6 × 6 (площадь 36). Нужно 36 ÷ 3 = 12 уголков.

Разобьём квадрат 6 × 6 на шесть прямоугольников 2 × 3. Каждый прямоугольник 2 × 3 легко складывается из двух уголков.

Каждым цветом на рисунке показан один уголок. Квадрат 6 × 6 разбит на 6 прямоугольников 2 × 3, а каждый прямоугольник сложен из двух уголков. Всего использовано 12 уголков.