Номер / задача 17 страница 13, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Нам нужно найти наименьшее количество отмеченных точек на плоскости, если на первой прямой отмечено 5 точек, на второй — 7, на третьей — 3.

Чтобы количество точек было наименьшим, нужно, чтобы как можно больше точек были общими для нескольких прямых. По теореме 1.1 две пересекающиеся прямые имеют не более одной общей точки. Значит, каждая пара прямых может иметь не более одной общей точки.

Три прямые образуют три пары: (1-я и 2-я), (1-я и 3-я), (2-я и 3-я). Значит, можно сэкономить не более 3 точек (по одной на каждую пару). Более того, если все три прямые проходят через одну точку, то одна точка принадлежит сразу всем трём прямым — это экономит ещё больше.

Рассмотрим случай, когда все три прямые пересекаются в одной точке. Тогда эта точка принадлежит всем трём прямым и считается отмеченной на каждой из них. Помимо неё:

• на первой прямой нужно ещё 5 - 1 = 4 точки,
• на второй — ещё 7 - 1 = 6 точек,
• на третьей — ещё 3 - 1 = 2 точки.

Но можно ли сделать так, чтобы ещё какие-то из этих «дополнительных» точек совпадали? По теореме 1.1 каждая пара прямых имеет только одну общую точку. Общая точка всех трёх прямых уже использована. Значит, никакие две из оставшихся прямых больше не пересекаются в отмеченных точках (их единственная общая точка уже учтена).

Однако рассмотрим случай, когда прямые пересекаются попарно в разных точках. Тогда:

• точка пересечения 1-й и 2-й прямых принадлежит обеим,
• точка пересечения 1-й и 3-й прямых принадлежит обеим,
• точка пересечения 2-й и 3-й прямых принадлежит обеим.

Это три различные общие точки. Подсчитаем, сколько точек на каждой прямой уже есть:

• на 1-й прямой: 2 общие точки (с 2-й и с 3-й), нужно ещё 5 - 2 = 3,
• на 2-й прямой: 2 общие точки (с 1-й и с 3-й), нужно ещё 7 - 2 = 5,
• на 3-й прямой: 2 общие точки (с 1-й и с 2-й), нужно ещё 3 - 2 = 1.

Итого: 3 + 5 + 1 + 3 = 12 точек.

Сравним с первым случаем (все три прямые через одну точку):

Значит, случай попарного пересечения в разных точках выгоднее.

Проверим: всего отмечено 12 точек, из них на 1-й прямой лежат 2 + 3 = 5 ✓, на 2-й — 2 + 5 = 7 ✓, на 3-й — 2 + 1 = 3 ✓.

Ответ: наименьшее количество отмеченных точек равно 12.