Номер / задача 16 страница 13, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Попробуем построить такую конфигурацию.
Нам нужно 6 прямых, на каждой из которых отмечено ровно 4 точки, а всего отмечено 11 точек.
Подсчёт. Если бы все точки на прямых были различными, потребовалось бы 6 · 4 = 24 точки. Но у нас всего 11 точек, значит, точки должны повторяться (принадлежать нескольким прямым одновременно). «Лишних» вхождений: 24 - 11 = 13.
Если точка лежит на k прямых, она даёт k - 1 «лишних» вхождений. Сумма всех 
по всем 11 точкам должна равняться 13.
Попробуем конкретную конструкцию. Возьмём конфигурацию, в которой некоторые точки лежат на пересечении нескольких прямых.
Конструкция. Отметим 11 точек и проведём 6 прямых так:
Возьмём точки A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K и прямые:
- Прямая 1: A, B, C, D
- Прямая 2: A, E, F, G
- Прямая 3: B, E, H, I
- Прямая 4: C, F, H, J
- Прямая 5: D, G, I, K
- Прямая 6: A, J, K, H
Проверим: на каждой прямой ровно 4 точки ✓. Всего различных точек: A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K — это 11 точек ✓.
Нужно убедиться, что такое расположение возможно, то есть что точки можно расположить на плоскости так, чтобы указанные четвёрки были коллинеарны, а никакие другие «случайные» совпадения не возникали. Покажем это на конкретном примере с координатами.
Да, можно.
Конструкция. Проведём 6 прямых, разбитых на две группы по три:
- Прямые a, b, c проходят через одну общую точку P.
- Прямые d, e, f проходят через другую общую точку Q.
Каждая прямая из первой группы пересекается с каждой прямой из второй группы. Это даёт 3 × 3 = 9 точек пересечения (все различные, так как прямые выбраны в общем положении).
Подсчитаем точки на каждой прямой:
- Прямая a содержит точку P и три точки пересечения с прямыми d, e, f — итого 4 точки ✓
- Аналогично для прямых b и c.
- Прямая d содержит точку Q и три точки пересечения с прямыми a, b, c — итого 4 точки ✓
- Аналогично для прямых e и f.
Всего различных точек: 2 (точки P и Q) + 9 (точки попарного пересечения) = 11 точек ✓
Ответ: да, можно.
