Номер / задача 168 страница 58, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

1) Может ли одна высота треугольника принадлежать ему, а две другие нет?

Да, может. Рассмотрим тупоугольный треугольник. В нём высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника (принадлежит ему). А две другие высоты, проведённые из вершин острых углов, попадают на продолжения противолежащих сторон, т. е. их основания лежат вне треугольника — эти высоты ему не принадлежат.

2) Может ли только одна высота треугольника совпадать с его стороной?

Нет, не может. Если высота совпадает со стороной, значит эта сторона перпендикулярна противолежащей стороне, т. е. угол между ними равен 90°. Но тогда и другая из этих двух сторон тоже является высотой (она перпендикулярна первой стороне и проведена из вершины на прямую, содержащую противолежащую сторону). Поэтому если одна высота совпадает со стороной, то и вторая высота тоже совпадает со стороной. Значит, только одна — не может.

Это происходит в прямоугольном треугольнике: две стороны, образующие прямой угол (катеты), являются одновременно высотами.

3) В каком треугольнике три высоты пересекаются в его вершине?

В прямоугольном треугольнике. Две высоты совпадают с катетами, а значит, пересекаются в вершине прямого угла. Третья высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, тоже проходит через эту вершину. Таким образом, все три высоты пересекаются в вершине прямого угла.