Номер / задача 167 страница 58, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Рассмотрим, может ли какой-либо из элементов треугольника совпадать с его стороной.

Биссектриса — отрезок от вершины до точки противолежащей стороны, делящий угол пополам. Биссектриса лежит внутри угла треугольника и не может совпасть со стороной.

Медиана — отрезок от вершины до середины противолежащей стороны. Медиана соединяет вершину с точкой на противолежащей стороне и также не может совпасть со стороной.

Высота — перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противолежащую сторону. Высота совпадает со стороной треугольника тогда, когда сторона, из которой она проведена, уже перпендикулярна противолежащей стороне. Это происходит в прямоугольном треугольнике.

Действительно, пусть в треугольнике ABC угол A = 90°. Тогда AB ⊥ AC. Высота, опущенная из вершины A на сторону BC, — это отдельный отрезок, но высота, проведённая из вершины B к прямой AC, — это перпендикуляр из B на прямую AC. Поскольку AB ⊥ AC, этот перпендикуляр и есть отрезок BA, то есть высота из вершины B совпадает со стороной AB. Аналогично высота из вершины C совпадает со стороной CA.

Ответ. Со стороной треугольника может совпадать высота. Это возможно в прямоугольном треугольнике: каждая из двух сторон, образующих прямой угол (катетов), является высотой, проведённой к другому катету.