Номер / задача 142 страница 41, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Учебник: Вентана-Граф, 2023
Условие: На рисунке 117 $\angle ABD = \angle FBK$, $\angle DBF = \angle KBC$. Докажите, что $BF \perp AC$.
Рис. 117: из точки B на прямой AC выходят лучи BF (вверх-влево), BK (вверх-вправо), BD (влево-вниз); AC — горизонтальная прямая.
Доказательство
Пусть точка B лежит на прямой AC. Лучи BD, BF и BK выходят из точки B.
Обозначим ∠ ABD = α, ∠ DBF = β, ∠ FBK = γ, ∠ KBC = δ.
По условию:
Так как точка B лежит на прямой AC, лучи BA и BC — противоположные. Поэтому сумма всех углов в полуплоскости (верхней), образованных лучами, выходящими из B, от луча BA до луча BC, равна 180°:
Подставим обозначения:
Используя равенства α = γ и β = δ, получаем:
Но α + β = ∠ ABD + ∠ DBF = ∠ ABF.
Значит, ∠ ABF = 90°, то есть луч BF перпендикулярен прямой AC.
Таким образом, BF ⊥ AC. 
