Номер / задача 141 страница 41, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Доказательство

Так как BF ⊥ AC, то ∠ ABF = 90°.

Так как BD ⊥ BK, то ∠ DBK = 90°.

Луч BF проходит между лучами BA и BK (это следует из рисунка 117), поэтому:

Аналогично, луч BA проходит между лучами BD и BK (из рисунка), поэтому:

Из этих двух равенств получаем:

Отсюда:

что неверно по знаку — пересмотрим расположение лучей.

Перестроим рассуждение. Из рисунка: луч BD направлен влево-вниз, луч BA — влево по прямой AC, луч BF — вверх-влево, луч BK — вверх-вправо, луч BC — вправо.

Тогда лучи BD, BA, BF, BK, BC идут последовательно (против часовой стрелки) от BD к BC.

Поскольку BF ⊥ AC, имеем:

Поскольку BD ⊥ BK, имеем:

Запишем:

Но ∠ ABF = 90°, значит:

— это невозможно. Значит, луч BA не лежит между BD и BK. Уточним: BD направлен влево-вниз, а BA — влево. Тогда луч BD лежит «ниже» луча BA, и:

При этом ∠ ABK = ∠ ABF + ∠ FBK, так что:

Это даёт ∠ DBA + ∠ FBK = 0°, что неверно. Значит, луч BF не лежит между BA и BK, а луч BA лежит между BF и BK:

А также:

Из ∠ ABF = 90° следует ∠ FBA = 90°, и из ∠ DBK = 90°:

Тогда:

Это даёт слишком большой угол. Значит, луч BA лежит между BD и BF:

Отсюда:

Пусть ∠ ABD = α. Тогда, так как ∠ ABF = 90°:

Так как ∠ DBK = 90°, а ∠ DBK = ∠ DBF + ∠ FBK:

Значит, луч BF лежит между BD и BK, и:

∠ FBK = ∠ DBK - ∠ DBF. А ∠ DBF = ∠ DBА + ∠ ABF... Корректно: